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形式語義 (formal semantics)

其中任何一個命題字母，他本身不意味語意，假設我要把「我不是貓」和「我是貓」套用到 X 這個命題字母，那就會有語意指涉的問題了。

因此我們需要知道什麼使命題為真或假，所以需要將真的概念特徵化 (characterization）。

* 元語言：比如自然語言
* 目標語言：比如形式邏輯符號用法

==5.1命題邏輯的語義==

v(X) = 1 指我們估值 X 為 1（真）或0（偽）。v 是 valuation 函數。

命題如何知道是真的？不只是符號的詮釋而已。假設詮釋是：「今天X咖啡店來了3位客人」，也不一定恆真恆假。要知道其來客量才知道真假。

所以「註解(interpretation)+世界的狀態=真偽」

命題真值賦予：a{P) = 1 若 P 為真（詮釋在這世上為真），0則為假。像是真值表上的一列那樣。

a不是命題邏輯。

真值估值函數 v 定義

* 若A是命題字母，v(A) = a(A)
* 若A是~B對於一些命題B，那麼若 v(B) = 0 則 v(A) = 1 ，否則 v(A) = 0
* 如 A 是 B & C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 1 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0
* 如 A 是 B OR C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 0 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B -> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B <-> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = v(c) 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0

===（語義）蘊涵===

A蘊涵(entail)B寫成，<math>A_1, A_2, ... \models B</math>，指<math>A_i</math>為真的情況下，B不可能為假（即也為真）。

*<math>\models C</math>：C是恆真句
*⊨ ¬C：C是矛盾句
*若兩者都不是，則爲部分為真句。
*「<math>P_1, P_2, ...,\therefore C</math>是於命題邏輯valid的」↔<math>P_1, P_2, ..., \models C</math>
*命題邏輯中A, B邏輯等同↔(A⊨B & B⊨A)
*邏輯一致性的定義：
:「<math>{A_1, A_2, ...}</math>的集合是命題邏輯裏一致的」↔有至少一個真值賦值，讓所有命題為真。
:（若是都沒有，那麼邏輯上是不一致的）

==5.2量化邏輯的詮釋與模式(model)==
形式的，命題邏輯的語義嚴格的是真值賦值。

若是他們有同樣的真值賦值，兩個註釋是一樣的。

*謂詞邏輯的解釋是：
*#有論域
*#謂詞有語義意義
*#任何常量指涉的對象

如果拿命題邏輯的語義化來對謂詞邏輯進行語義的詮釋，會犧牲量化詞、謂詞和term的關係。

我們不能用真值表，因為謂詞本身無真和偽。

比如「……是女人」不能保證恆為真。

我們需要使用 extension（外延），就是對於所有 x 中，使謂詞 F x 為真的 x 的集合。比如說：「阿嬌、阿花、小莉……」是「……是女人」的外延。

有些謂詞的 extension 是無限多的。一般而言，謂詞的外延是註釋的結果加上一些事實 (facts)。

有些時候，外延可以列出來，如：

extension(TricolorOfSignal) = {Green, Red, Yellow}。

若是 UD是所有顏色，則∃x TricolorOfSignal(x) 為真，∀x TricolorOfSignal(x)為偽（顏色超過紅黃綠）。

常量的意義決定哪一個UD的成員被挑出來，被挑出來的稱爲常量的 referent。常量字母像人名，referent像指涉的東西。一個常量字母可以指涉同一個referent，就像「岳飛」和「岳鵬舉」指同一個人。

*集合：{a, b, c, ...}，內容元素不要求順序，空集合寫為∅。

*模型
**包含常數的指涉（函數）、論域 UD、以及謂詞的外延（extension，是枚舉）。類似這樣的形式（其中論域是 UD、謂詞是 H、常數是 f）：
***UD = {臺北、新北、桃園、台中、臺南、高雄}
***extension(H) = {臺北, 新北, 桃園}#註：H指在北臺灣
***f = {臺南}
**不需用知道臺灣地理知識就可以推估說 H f 是真的還是假的。
***第二個模型
***UD = {1,2,...,10}
***N x = N 是負數
**** extension(N) = {}
***L x y = x 大於 y
****這需要用「有序tuple」(ordered tuple)的概念
****extension(L) = {<10,9>, <10, 8>, ..., <2,1>}

==5.3 同一性的語義==
*x = y 是謂詞，所有的 UD 的 item 都滿足
*∀x x = x 是全真句。
* x = y 的 UD 隨模型而異。
* (referent(a) = referent(b)) →(P a = P b, Q a = Q b, ∀ x R x a = R x b)
* 假設有個模型：
** UD = {Alice, Bob}
** referent(a) = Alice
** referent(b) = Bob
** for all predicate P, extension(P) = {}
** 因為對於所有的 P，P a 是 false，P b 是 false，¬P a <-> ¬P b 為真，所以 P a <-> P b 為真。
**但 a ≠ b。

==5.4 處理模型==
*QL 的下列三式定義：
** 全真句：任何模型均爲真，⊨C
** 矛盾句：任何模型均爲假，⊨¬C
** 非全真句：不是全真句且不是矛盾句
** argument <math>P_1, P_2, ..., P_n, \therefore C</math> 有效 (valid)↔<math>\{P_1, P_2, ..., P_n\} \models C</math>。否則 invalid。
** A, B 邏輯等同↔A⊨B且B⊨A。
** 集合{A, B, ...} 具邏輯一致性↔至少有一個模型使得所有命題為真。否則為不一致性。
*證明 ∀ x A x x -> B d 是非全真句：
**首先證明它不是全真句，用部分模型(partial model)證明：
*** UD = {臺北}
*** extension(A) = {<臺北, 臺北>} # x y 是同一座城市
*** extension(B) = {} # B 非城市
*** d = 臺北
*** ∀ x A x x -> B d 是假
**再次證明它不是矛盾句：
***extension(A) = {<臺北, 臺北>} # x y 是同一座城市
***extension(B) = {臺北} # B 是城市
***d = 臺北
*** ∀ x A x x -> B d 是真
**∃x S x 和∀ x S x 邏輯不等同的證明：
***UD = {a, b}
***extension(S) = a
***因為∃x S x為真，∀ x S x為假，所以(∃x S x⊨∀ x S x)為假，邏輯故不等同。
*有時候我們如果要證明一個句子是全真句，要用到所有模型，這不可能完全列舉。
{| class="wikitable"
|+ 模式推論表
|-
! 可以證明的敘述 K （¬K不可證） !! 方法
|-
| K非全真句 || 建構一個K為假的模式
|-
| K非矛盾句 || 建構一個K為真的模式
|-
| K是非全真句 || 建構一個K為假的模式，和另一個K為真的模式
|-
| K, L邏輯不等價 || 建構一個K, L 真假值相異的模式
|-
| 命題集合A一致 || 建構一個A中的命題均爲真的模式
|-
| P,∴C不成立 (invalid) || 建構一個模式，P為真，C為假。
|}

==謂詞邏輯的真值==
*我們需要引用「滿足」的概念。
*a(x)，指 UD 有一個變數指派到 x，若是a(x) 在 extension(F)，則∃ x F x滿足 (satisfied)。
*若是對於所有變量𝐱，以及指代所有論域對象 (object) 的Ω，a[小明|x]代表指代小明這個對象給x，a[Ω|x]指代所有論域的變數於x。
*∀x P x 在模式𝐌滿足<->P x 在模式𝐌以a[Ω|x]滿足。

形式化定義
*若A是well-formed formula(wff)，形式為<math>P t_1, t_2, ... ,t_n</math>，且<math>\Omega i</math>是<math>t_i</math>挑出來的常數，則滿足函數 s 的公式為：
* s (A, a) = 
** if <<math>\Omega_1, ..., \Omega_n</math>>在 模式 M 的　extension(P) 裏面，then 1
** else 0

其中若<math>t_i</math>是常數，那麼<math>\Omega_i = referent(t_i)</math>；若<math>t_i</math>為變數，則<math>\Omega_i = a(t_i)</math>。

若 A = ¬B，B是wff，則
* S(A, a) = 
** if S(B,a) = 0 then 1
** else 0

若 A = B&C，B, C是wff，則

* S(A, a) = 
** if S(B,a) = 1 and if S(C,a) = 1 then 1
** else 0

其他運算子可以依此類推。

*真值
**模式M的命題A若爲真↔一些變數指派滿足A於M。
**量化邏輯的真值是模型的真值。

{{ForAllX}}

[[category:邏輯學]]