「形式邏輯筆記/第二章」修訂間的差異

於 2022年2月4日 (五) 16:01 的最新修訂

第二章命題邏輯 (sentential logic, SL)

2.1 命題字母

大寫字母（A, B, C...）代表命題

考慮下列三段式演繹推理：

A: 有蘋果

B: 有蘋果，小明就拿到板上

C: （所以）小明拿到班上

但若是把這樣的論述，寫成下方的話：

A

B

∴C

我們會以爲B和A與B和C沒有任何關聯性，但其實這不對，因為B的命題（有蘋果，小明就拿到板上）裏面，包含A（有蘋果）和B（小明拿到班上）。

因此，應該要這樣寫：

A

A→C

∴C

這裏就用到連詞(connective)了。

A, B, C, ...或是字母加下標的A₁、A₂, ...

都是原子句 (atomic sentence)。

2.2連詞 (connectives)

連詞一覽
符號	華語	英文
¬	非	not
&	與	and
∨	或	or
→	充分條件	if
↔	充要條件	if and only if

¬否定

¬的真值表
A	¬A
T	F
F	T

&聯集（與、且、也）

「雖然……但是……」也使用該連詞。

這個連詞有對稱性 (symmetrical)，具有交換律，也就是A&B↔B&A

&的真值表
A	B	A&B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

∨交集（或）

這裏指的是inclusive OR，就是兩者都包含也算在內。如果只能二選一的，就用 exclusive OR(XOR)。

A XOR B = (A∨B) & ¬(A&B)

有對稱性，具有交換律，也就是A∨B↔B∨A

∨的真值表
A	B	A∨B
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

→條件 (conditional)

A→B

其中前件(antecedent)為A，結果(consequent)為B。

若 A 則 B，寫成A→B 唯若 A 則 B，寫成B→A

若 A為真則 B為真，並不是因果關係，而是邏輯關係。

實質條件 (material conditional)：

→的真值表
A	B	A→B
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

注意上表倒數兩行，A 若是 F（假）的情況，則 A→B 恆為真！

這個連詞是非對稱的(asymmetrical )。

↔雙向條件（若且唯若，if and only if）

即「(A→B)&(B→A)」。

↔的真值表
A	B	A↔B
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	T

2.3其他符號化

除非 A 否則 B，可寫為¬A→B或是¬B→A。

也可推論為「A∨B」

2.4 命題邏輯的命題

目標語言之於元語言：
1. 目標語言 (object language)：命題邏輯等。
2. 元語言 (meta language)：邏輯學用的英語等。
表達式 (expression)：
1. 句子字母 A, B, C,... , A₁, A₂, ...
2. 運算子：¬、&、∨、→、↔
3. 括號：(、)
wff（well-formed formulae, 形式完備公式）
1. atomic sentence 是 wff
2. 若𝓐是wff，則¬𝓐是wff
3. 若𝓐和𝓑都是wff，則𝓐&𝓑、𝓐∨𝓑、𝓐→𝓑和𝓐↔𝓑都是wff。這裏使用遞迴定義。
這裏的𝓐、𝓑都是元變數 (meta-variable)

只有上述規則才能組成wff的命題邏輯。
句子
1. SL中，定義句子，就是定義wff。
標記習慣（講這本書命題邏輯的標記方式）

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 {{Nav|程式語言、邏輯學|形式邏輯筆記}}
-第二章命題邏輯 (sentential logic)
+第二章命題邏輯 (sentential logic, SL)
 == 2.1 命題字母 ==
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 這裏就用到連詞(connective)了。
+A, B, C, ...或是字母加下標的A<sub>1</sub>、A<sub>2</sub>, ...
+都是原子句 (atomic sentence)。
 ==2.2連詞 (connectives)==
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 |}
-===&聯集（與、且、也）===
+===∨交集（或）===
+這裏指的是'''inclusive OR'''，就是兩者都包含也算在內。如果只能二選一的，就用 exclusive OR(XOR)。
-「雖然……但是……」也使用該連詞。
+A XOR B = (A∨B) & ¬(A&B)
-這個連詞有對稱性 (symmetrical)，具有交換律，也就是A&B↔B&A
+有對稱性，具有交換律，也就是A∨B↔B∨A
 {| class="wikitable"
-|+ &的真值表
+|+ ∨的真值表
 |-
-! A !! B !! A&B
+! A !! B !! A∨B
 |-
 | T || T || T
 |-
-| T || F || F
+| T || F || T
 |-
-| F || T || F
+| F || T || T
 |-
 | F || F || F
 |}
-===∨交集（或）===
+===→條件 (conditional)===
+A→B
+其中前件(antecedent)為A，結果(consequent)為B。
-這裏指的是'''inclusive OR'''，就是兩者都包含也算在內。如果只能二選一的，就用 exclusive OR(XOR)。
+若 A 則 B，寫成A→B
+唯若 A 則 B，寫成B→A
-A XOR B = (A∨B) & ¬(A&B)
+若 A為真 則 B為真，並不是因果關係，而是邏輯關係。
-有對稱性，具有交換律，也就是A∨B↔B∨A
+實質條件 (material conditional)：
 {| class="wikitable"
-|+ ∨的真值表
+|+ →的真值表
 |-
-! A !! B !! A∨B
+! A !! B !! A→B
 |-
 | T || T || T
 |-
-| T || F || T
+| T || F || F
 |-
 | F || T || T
 |-
-| F || F || F
+| F || F || T
 |}
-===→條件 (conditional)===
+注意上表倒數兩行，A 若是 F（假）的情況，則 A→B 恆為真！
+這個連詞是非對稱的(asymmetrical
+)。
+===↔雙向條件（若且唯若，if and only if）===
+即「(A→B)&(B→A)」。
+{| class="wikitable"
+|+ ↔的真值表
+|-
+! A !! B !! A↔B
+|-
+| T || T || T
+|-
+| T || F || F
+|-
+| F || T || F
+|-
+| F || F || T
+|}
-A→B
+==2.3其他符號化==
-其中前件(antecedent)為A，結果(consequent)為B。
+除非 A 否則 B，可寫為¬A→B或是¬B→A。
+也可推論為「A∨B」
+==2.4 命題邏輯的命題==
+# 目標語言之於元語言：
+## 目標語言 (object language)：命題邏輯等。
+## 元語言 (meta language)：邏輯學用的英語等。
+# 表達式 (expression)：
+##句子字母 A, B, C,... , A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, ...
+##運算子：¬、&、∨、→、↔
+##括號：(、)
+# wff（well-formed formulae, 形式完備公式）
+## atomic sentence 是 wff
+## 若𝓐是wff，則¬𝓐是wff
+## 若𝓐和𝓑都是wff，則𝓐&𝓑、𝓐∨𝓑、𝓐→𝓑和𝓐↔𝓑都是wff。這裏使用遞迴定義。
+#:這裏的𝓐、𝓑都是元變數 (meta-variable)
+#:只有上述規則才能組成wff的命題邏輯。
+# 句子
+##:SL中，定義句子，就是定義wff。
+# 標記習慣（講這本書命題邏輯的標記方式）
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