形式邏輯筆記/第一章

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第一章 什麼是邏輯

推算 argument（論證）⇒給理由相信結論

論證的形式如下圖

(1) 前提1
(2) 前提2
(3) ...
∴結論

1.1論證 (argument)

• 切分：
  • 前提→因為，在……之下
  • 結論→因此、然後、那麼、所以

可定義論證為一系列句子。

1.2句子（語句，sentence）

可為真或假→可能是事實或意見(opinion)。

以下不是句子：

• 疑問句
• 祈使句（但並非所有命令句非句子）
• 感嘆句 (exclamation)

1.3論證可能為假的時候

1. 存在前提為假
2. 論證形式說服力不足⇒論證之邏輯形式有誤⇒前提不必然推論出結論

如果前提和論證形式 perfect⇒必然 deductive valid（演繹有效）

邏輯的一個重要工作⇒分類好或壞的論證。

1.4演繹的有效性 (deductive validity)

論證演繹的有效⇔不可能諸前提為真而結論為假（同時）。

範例1：

• 水果(柳丁)∨樂器(柳丁) ①
• ¬水果(柳丁) ②
• ∴樂器(柳丁) ③

就算違乎常理，這是valid argument（有效論證）。因為若①、②為真⇒③為真

範例2：

• 位於(倫敦, 英格蘭) ①
• 位於(北京, 中國) ②
• ∴位於(巴黎, 法國) ③

就算③符合常理，這不是有效論證。因為①、②、③無關連，邏輯上可能為論證真，結論假（此處不管常理）。

「valid argument」和「前提真且結論假」互相矛盾。

• 歸納論證

⇒一般化到所有情況。

⇒非演繹有效。

1.5其他邏輯概念

• 真假值 (truth-value)：真或假⇒句子有真假值。

• 邏輯的真(logical truth)
  • 三種句子分類：
    1. 現在下雨→未確定句 (contingent sentence)
    2. 現在下雨或非下雨→恆真句（tautology，非現實恆真，是邏輯推演上恆真）
    3. 現在下雨且不下雨→矛盾 (contradiction)

• 邏輯上相等(logical equivalance)

①John在洗碗後去商店

②John去商店前洗碗

⇒邏輯上同時真同時假

⇒①、②邏輯上相等

• 一致性 (consistency)

① $x\leq 5$

② $x>5$

⇒①、②不可能同時為真⇒①、②不一致(inconsistent)，否則為一致。

1.6形式語言

• 蘇格拉底是人
• 所有人會死
• ∴蘇格拉底會死

⇒提取符號化

• S是M
• 所有M是C
• S是C

⇒形式語言

• 亞里斯多德邏輯：
  • (A) 所有A是B
  • (E) 非A是B
  • (I) 一些A是B
  • (D) 一些A不是B

本課本教授兩種形式語言：

1. 命題邏輯 (SL, sentential logic)，句子為最小單位。
2. 量化邏輯 (QL, qualified logic)，客體 (object)、客體性質、客體關係為最小單位

此處的 truth-value 只使用「真」、「假」。

註腳

ForAll X 形式邏輯筆記

第一章 什麼是邏輯 - 第二章 命題邏輯 - 第三章 真值表 - 第四章 量化邏輯 - 第五章 形式語義- 第六章 證明