東大圖書《弗雷格》筆記

ISBN 9571918199

這是講述弗雷格哲學的簡介，弗雷格是語言哲學之父，奠基現代邏輯學，也是分析哲學的鼻祖。作者王路是漢語圈研究弗雷格的哲學家，來自中國。

第一章：生平簡介

略

第二章：概念文字

古代已經有符號化表示命題的方式（亞里斯多德），萊布尼茲也提出一個邏輯化的語言來表示人類思維的方法。弗雷格使用的概念文字，是一種結合數學文字和自然語言，卻又揚棄自然語言表達邏輯的不完美。可以說是形式邏輯的奠基者。

書中並未介紹其理念的表現形式（排版過於困難，可以參考：Translations from the Philosopical Writing of Gottlob Frege 筆記-概念文字第一章），雖然從形式可以看出，作者想要表達的是現在的一階邏輯（謂詞邏輯），但作者提出9條一階邏輯的公理，組成帶等號符=的一階邏輯系統：

公理

a ->(b->a)
(c->(b->a))->((c->b)->(c->a))
(d->(b->a)) -> (b->(d->a))
(b->a)->(a->b)
¬¬a -> a
a->¬¬a
(a=d)->(f(c)->f(d))
c=c
∀xF(x)->F(a)

推導規則

A->B, A⊢B
A->F(a) )( ⊢A->∀xF(x) 僅當a不於結論中出現。（註：「)(」不知道是什麼符號）

弗雷格證明這是soundness，但是沒有證明他的completeness，後來由Godel證明完成。

弗雷格認為句子和概念內容是區別的，比如「我被他打」和「他打我」形式不同，表達意思相同，只是給讀者的心理作用不同。所以形式邏輯是一種「去心理主義」的推論方式。

弗雷格的系統引進謂詞「……是事實」，就是「⊢」（可以視為判斷符號）。「A」是句子 sentence，「--A」是內容，「|---A」是判斷。

亞里斯多德：概念->判斷->邏輯。弗雷格先引入判斷，直接進入對推理的研究。

「命題邏輯」->「一階邏輯」->現代邏輯系統

將判斷核心化，實際上把句子核心地位化，對哲學產生深刻影響。

引入函數和變數（自變元）的概念，從數學而來。

亞里斯多德：單稱命題（如：蘇格拉底是人）、普遍命題（分成全稱命題和特稱命題）

其中單稱命題在邏輯上的推論缺陷，在概念文字得到解決。

二元關係（可以視為二元謂詞，離散數學應該會提到），「|----R(x, y)」放在現在數學，可以表示為：「x R y」。

傳統邏輯「主詞+繫辭+謂詞」被打破，個體c和自變元一起引入邏輯。

邏輯以前用自然語言表達，和心理學和認識論綁在一起，影響發展。後來發展形式邏輯，邏輯快速發展

數理邏輯
- 證明論
- 公理集合論
- 遞迴論
- 模型論
哲學邏輯
- 模態邏輯
- 時態邏輯
- 道義邏輯
- 認知邏輯
- 命令句邏輯
- 問句邏輯

等等

因為使用形式語言和數學方法，所以促使邏輯從哲學獨立，現今邏輯學應用於哲學、工程學、語言學等等。

第三章：算數基礎

弗雷格的心願是從邏輯推衍到數學（雖然因為羅素悖論被打敗了），就是所謂的邏輯主義（關於這種數學推演的派別，可以見「同構：編程中的數學」的最後一章「悖論」）。系列著作：

概念文字
算數基礎
算數的基本規律 vol.1,2（未完成）

算數基礎：探討什麼是數，試圖用邏輯定義0,1和後繼（如(S n)的 S）。

為了說明什麼是數，弗雷格的三條方法論：

心理學和邏輯、主觀和客觀要區別
在句子聯繫中研究意謂，而非個別研究意謂（語境原則）——弗雷格從語言出發，分析數在語言的表現形式，說明數的性質。
時刻看到概念和對象的區別

弗雷格認為數是專名（專有名詞），指一個object（對象），不是概念詞（指有同樣類型的東西）。

經驗主義者認為，數是對外界物體的抽象（比如說五隻牛抽象成為「5」+「牛」)

但是弗雷格認為，數和顏色不同。比如說「綠色的葉子」和「1000片葉子」相比，數字1000不是葉子內含的屬性（不同於顏色）

數和事物連接起來，就依賴理解。弗雷格認為我們把什麼賦予事物，取決於我們的思考方式。

弗雷格認為一個概念是從屬於一定範圍的事物抽象，那就不可能有意義應用於這個範圍以外的事物。比如說：顏色是從物質抽象而來，那「某某色的數」就不能用，從而和經驗主義者的「數從物理世界抽象，也可以用於描述物理以外的事物」矛盾。

另外對於主觀主義（數是心理創造），弗雷格的方法論認為「要區別心理學和邏輯」，弗雷格認為數不是心理學裡面的東西。他主張「數不是外界事物、主觀事物，而是某種客觀的東西」。弗雷格認為，客觀的東西和現實的東西是不同的，比如赤道，是透過思維被認識到，被把握的。

也就可以分為：客觀外界世界、主觀世界、另一個包含數存在的世界。

弗雷格的結論

數不是外界事物的性質
數的概念不是透過獲取顏色等等抽象方法得到的
數不是心靈或主觀的實體

弗雷格用「這裡有4個連」和「這裡有500個人」比較，雖然指涉的群體和本質不變，但是概念詞改變，所以弗雷格主張：「數的給出包含對一個概念的表達」。數表達的不是對象的性質，而是概念的性質。

第一層次概念應用於對象，第二層次概念包含數，用來說明第一層次的概念。

概念是數的載體。

函數以個體為自變數，量詞（∀、∃）以函數為自變數。

對於0, 1和後繼（S(n)）的定義：

假設F是一元謂詞，N x Fx代表「屬於X這個概念（概念有『凱薩大帝、地球、獨角獸、臺灣人』的數）」，則（以下的公式稍作等價公式的替換，以利理解）：

N x F x=0 表示∀x.¬x
N x F x=1 表示∃x.(F x ∧ ∀x ∀y(Fx∧Fy →x = y))
N x F x=n+1 表示∃x.(F x ∧ N y (Fy ∧ y ≠ x) = n) #註：這裡奇怪的是為什麼沒有給y的量詞

弗雷格反對這種定義：

數字並沒有作為單稱詞使用，也無法把0、1確定為可重認且獨立的對象(即無法說明0是獨一無二且和其他數不同)
因此無法重認一個數，從而無法確認一個數和另一個數是否相同。

數的相等必須藉由（其內元素間）「一一對應」來定義。

用如果a和b平行，則「和a平行的線」的外延和「和b平行的線」的外延相等，弗雷格用外延來說明數的定義：

「屬於概念F的數，是『與概念F等數』的概念的外延」。（也就是所有數量為2的概念（布爾邏輯值、圍棋子的顏色等）的外延，是2，就是屬於布爾邏輯值概念的數。）

根據相等=的解釋：

同一個數屬於概念F且屬於概念G ↔「與概念F等數的」這個概念的外延 = 「與概念G等數的」這個概念的外延

一一對應是什麼呢？

∃ɸ是二元關係，若「 ∀x∈F, ∃y ∈G, ɸ x y 」且「∃x∈F, ∀y ∈G, ɸ x y」則F和G相互對應（一一對應）

概念F和概念G是等數的 ≝ ∃R 使概念F下的對象（元素）和使概念G下的對象一一對應。

算數基礎規律中使用外延區別數，但是這種引入外延產生了悖論。

邏輯主義主張可以用邏輯推演導出算數，雖然後來有類型論進行悖論的補救，也有直覺主義邏輯等等的，可以參考《同構：編程中的數學》最後一章。

康德主張判斷分為「先驗的和後驗的」、「分析的和綜合的」

弗雷格主張：

一個命題是分析的<=>可以純粹基於邏輯規律和定義轉換來證明該命題
先驗命題：不訴諸事實，而從一般規律中推論出來的

為了證明數學，需要假設一些公設axiom：

當時最有名的是皮亞諾公設，但弗雷格並沒有表述皮亞諾公理：

N 0 // 0是自然數
∀x (N x→∃ y (N y∧ (S(x) = y))) //對於所有自然數x有y為後繼( S x = Succ (x), i.e. x + 1)
∀x∀y(N x ∧ N y →(x=y↔S(x)=S(y))) //相同的自然數有相同的後繼，不同的有不同的後繼
∀x(N x→0≠S(x)) //0不是任何自然數的後繼
∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0，且若 F x 則 F (S (x))，則對所有自然數n則F n。

為什麼邏輯主義失敗，人們認為有三大原因：

羅素悖論
哥德爾不完備定理（有些定理不能在皮亞諾公設下被證明）
弗雷格認為邏輯包含集合論，但是現代集合論的發展，應該是把集合論當成數學的一部分（分支）。

悖論和弗雷格的公理V相關，用現代邏輯符號表述如下：對於所有概念F， ∀F∀G [{x|F x} = {x| G x}]↔∀x (F x ↔G x)

因此 [{x|F x} = {x| F x}]↔∀x (F x ↔F x)

{x|F x} = {x| F x} #分離原則

∃y. y = {x|F x}#存在概括（註：注意，這裡y這個item綁到集合）

因為F是任何概念，所以引入二階量詞則：

∀F.∃y. y = {x|F x}......(a) 也就是：對於所有F謂詞，有類別y=「滿足F謂詞的所有x元素的集合」。

但是我們有一個定理，是∃R.R={x|¬x∈x}（也就是把(a)式的 F x = ¬x∈x再代入）

但這樣可好！如果R∈R，則¬R∈R（亦即R∈R→¬R∈R）但若¬(R∈R)，則因為滿足R的¬x∈x，因此R∈R，所以R∈R∧¬R∈R，所以矛盾。

後來羅素提出類型論(Type Theory)，但是因為類型限制，就無法對「無限性」提出證明（註：根據《同構：編程中的數學》p.226，羅素使用無窮公理，將無窮公理化，但是變成公理就無法證明）。

註：現在PL（Programming Language，程式語言）領域用的是改良後的類型論。

仍然也是有人為弗雷格的邏輯主義辯護。

本文作者最後評論，本體論的意義上，弗雷格說明顏色和數不同，數上可以有相等，顏色上沒有數學上的相等的概念，用相等可以重認一個數。

第四章：概念與對象

這裡還是用到數學的概念。

1. 函數是不完整的。比如 __ * x + 2

2. 自變元是完整、獨立的。如：x、3、10

3. 自變元不等於函數，但是這兩個建立一個完整的個體。

4. 函數補以自變元，就是自變元的函數值。

函數的擴展：

等號是等式的斷定句，有等號就可以談論句子。
引入專名可以討論「數」以外的一般事物。

假設有這個函數 λx. x^2 == 1（註：在此借用lambda函數，下同），則函數代入x=2、x=3，函數的值是假；代入-1、1是真。所以：

5.有等號的函數，其值是真值（就是現在所說的boolean值，true或false）

除數以外，真值也可以當做自變元。

現有函數「------x」，若是用真當自變元，該函數的值是true，如果是非true（比如false或是一個數），則回傳false。

  ---2+2 = 4是真，------1+3=6是假，-------5是假

∀xF(x)表達：

對於所有的x（無論什麼當做自變元x），F(x)恆真，比如∀x(x = x)
假。∀x(x^2 =1)有可能是真，有可能是假，註：但因為「對於所有」∀這個量詞，所以整體出來的值是假，因此可以否定：
1. ¬∀x(x^2 =1)

¬∀x¬f(x) = ∃x f(x)

我們想若是∀xF(x)，不把數或是專名，而把函數當成自變元的話，變成：∀x___(x)

6. 也就是：函數不僅可用個體的數做自變元，而且也可用「含有數或個體的函數」做自變元。

因此可以推衍到二階邏輯（層次不同）。

另一面，7. 函數本身也可以有很多個自變元（多變數函數）（註：但不是函數層次不同）

為什麼要擴展函數？這種擴展有沒有道理？

弗雷格是想用函數說明概念的性質，比如λx.x^2=1可以表示「__是1的平方根」，後者是一個概念，不是句子。但是這樣說明函數和概念具有相似性。

藉由引入專名，可以討論一般的句子。

對於這種擴展有無道理，弗雷格主張：「算數是進一步發展的邏輯。」「算數的符號語言必然擴展為一種邏輯的符號語言」，這裡有邏輯主義的特色。

弗雷格說：「一個概念是一個總是回傳boolean值的函數」（用現在的語言來說）

概念有「___是人」、「___會說話」這樣的特性，所以概念是不滿足的。

自然語言概念的回傳值，是不是也是回傳真或假呢？舉例：「X征服高盧」，X=凱薩時為真；X=龐培時為假，所以概念具有回傳真或假的情況。

傳統觀念認為，概念是客觀事物在人腦抽象概括的反映。因此就有「雪是白的」，要瞭解概念就需要從詞語的內涵和外延瞭解。但和boolean值沒關係。

弗雷格認為，概念起謂語作用（……是行星）。概念詞（行星）的意謂是「概念」。類名（行星、哺乳類等）的意謂是概念，謂語也是概念。概念的「謂述性」需要補充，類似函數的不完全性。

主詞有謂述性嗎？弗雷格認為謂述性的主詞（比如類詞）的句子要這樣處理「哺乳動物（類詞）都有紅血（謂語）」轉換為「∀x.哺乳動物(x)->有紅血(x)」。

專名有兩種：

專有名詞：張三（不能進一步分析）
專有名詞+概念詞：張三的老師->可以轉為「老師(張三)」這個輸入專有名詞的輸出函數值。

謂詞弗雷格有時用謂詞，有時用概念詞稱之。

謂語=「句子-主語的專名」比如：「柏拉圖的弟子是古希臘人」->「____是古希臘人」

弗雷格認為「哲學家」類語和「是哲學家」謂語，形式不同，但是意謂相同，他們的意謂是概念，而且是同一個。

弗雷格認為兩個是有不同：

「晨星是金星」，這裡的是指相等=
「晨星是行星」，這裡的是指連詞，只有語法作用，沒有具體意義。

對象和概念不同的。

概念是謂詞的意謂，對象是這種東西：可能是主詞的意謂（比如說「蘇格拉底」這詞所指的人），但絕不是謂詞的全部意謂。

概念和對象的關係：

用一個專名補充一個謂詞得到一句子，句子有意義（完整的）和意謂，值為真假值。
概念和boolean值相聯繫，形成概念和對象的一個顯著區別。「美國的首都」是一個專名，「x是美國首都」是概念，回傳真假值。
因為概念和boolean聯繫，概念真假由所代入的對象決定。
1. 一個對象處於一個概念下（x∈概念y、x是y），指涉「概念y是x的性質」、「x在概念y下」

弗雷格認為存在是二階概念，「上帝存在」表達的是「上帝(___)」，這句是不滿足的，並沒有把上帝當一個個體，所以主張其證明不存在。

多元函數揭示關係（如離散數學），但是弗雷格沒有討論關係。

弗雷格認為，一個對象處於一個概念；概念也可以處於另一個概念下。

個人心得：我覺得「x的老師」和「x是老師」是不同的函數，一個回傳人，一個回傳boolean

第五章：意義和意謂

一個符號（句子、或是一個詞、狹義的符號）有某種意義，但不一定有意謂。

意謂指的是符號所指涉的實際物體。另外意謂這個詞bedeutung在英文的翻譯以及中文的翻譯有爭議。

意謂就像月亮，意義就像投射到望遠鏡透鏡的像，表象像是到視網膜的投影。

專名的意義：

專名表達的
和意謂不同
是句子表達的思想的一部分
專名的意義是客觀的，不依賴於主觀意識，且可被許多人共同把握。

弗雷格認為：直陳句的意謂就是句子的boolean值。

「晨星是被太陽照亮的物體」和「昏星是被太陽照亮的物體」。對於不瞭解晨星和昏星都是金星的人，可能有不同的認識（比如認為兩者不可能同時為真）。註：可能這裡意思是「意義是符號給人的描述的結果的一種暗示（比如：「一顆星，是早晨看見」和「一顆星，是黃昏看見」）」

「奧德賽在沉睡中被放到伊薩卡岸上」：句子有意義，但意謂不確定，因為我們不知道句子部分（專名奧德賽）所指的意謂（對象）是誰。

句子的意義是其思想，句子的意謂是其真值。

句子的重要性質

若句子意謂是其boolean value，如果句子一部分被意義不同，意謂相同的表達式替代時，句子的真值需保持不變。
如果一個句子的真值即為其意謂，那所有真句子具有相同意謂，所有假句子也有相同意謂。

「思想是句子的意義，同樣意謂的句子可以有不同的意義，從而給人不同的認識」

弗雷格舉例從句表達的性質（本書中沒舉例很難懂）

從句的意謂是從句的思想
從句只表達思想的一部分
從句本身表達一個思想
從句中有相對應於專名的語詞出現
從句表達完整的思想時，有時候一個從句可以被另一個相同的真值句子替代。但不是所有從句都能替代。

意謂-->概念：不是內涵，也不是外延，是回傳boolean的函數，概念要看成函數

對照圖
層次	句子	專名	概念詞
表達式	句子	專名	概念詞
意義	思想	句子意義（思想）的一部分	句子意義（思想）的一部分
意謂（個人註：要放在形式邏輯的函數觀念下看比較好懂）	布林值	對象	概念（一個回傳布林值的函數）
			屬於這個概念下的對象

benetung 從德文翻譯成英文也有用語的爭議。

弗雷格有沒有後人所說的專名理論？專名理論屬於指謂理論（語言表達式和專名指涉對象的關係）的一種。

現代的專名理論的基本問題

區別專名和摹狀詞
區別專名的意義和所指（專名有沒有意義？專名意義是什麼）
探討專名意義和所指涉的事物的關係（它們如何被決定的）

如果弗雷格要建立專名理論，爲什麼不區別專名（如「蘇格拉底」）和摹狀詞（比如「柏拉圖的老師」）？

要理解一個專名的意義，就要對使用的語言有足夠認識，但若是從這種意義得到意謂，終究只是片段的說明（就是這個意義）（比如：誕生於某某地，且生於某年，且爲哲學家=>可以反推到哲學家P），如果我們能夠從每個被給定的意義推論這是什麼意謂，那我們就要對意謂的目標全知，但我們達不到。

個體（比如張三）的定義問題。我們很難對一個個體給出完整的摹狀說明，但可以僅舉部分而得到理解是這個個體。

弗雷格不區別專名和摹狀詞，也不專門探討專名的意義，強調意謂。

作者認爲弗雷格對專名的論述是爲說明句子結構用，不是建立「專名理論」。

弗雷格理論中，專名要有所指的事物，纔能讓句子有真值。所以「當今的法國國王禿頭」就沒有真值（法國已經改爲共和制）

照現在語言學家的觀點，弗雷格將句子處理爲專名不妥，因爲句子的認識作用和專名的認識作用不同。

「現代邏輯在向自然語言分析的擴展過程，總是存在一些差異，切忌生搬硬套」。

心得：不知道「句子的意義」是不是句子敘述的同義語（比如詞典解釋）的表達式擴展？比如「哲學家(亞里斯多德)」擴展爲「∃X. 名字(X,亞里斯多德) AND 研究(X,哲學)」，但是書中也沒明說。

第六章：思想

只有斷定句才有思想（命令句、疑問句沒有思想），非斷定句通常沒有思想。思想和真相關（是用來推論一個句子是否為真的媒介）。

句子的意義是思想，意謂是真值。

斷定句有思想和斷定

對思想的把握：思維
對思想的真的肯定：判斷
對判斷的表達：斷定

內心世界的東西稱為表象（除了決斷），不是思想，表如下：


	表象	外物
可感知？	N	Y
能被擁有？	Y	N
有承載者（擁有者）？	有，且只有一個	無

思想是除了外物、表象以外的「第三範圍」。思想的特性：

和真聯繫
用語句表達的
不是思維行為
不用人們承認就存在，所以不能創造思想，而是發現思想
思想永恆不變
是object

思想A有其自相矛盾的思想，稱為否定 ¬A，A和¬A只有一個才是真的。否定類似函數not = function(x) { ¬x}

思想像是變數一樣，是完整的。

¬¬A和A同時為真（假）

「因為在邏輯問題中，語言是不可靠的。」

六種思想結構：

I. A ∧ B，∧ 如一種function and(x, y)，特性如下：
1. 交換律：A ∧ B↔B ∧ A
2. 重合律：A ∧ B↔A
3. 引入∧： A, B ⊢A∧ B（這裡用了像現在邏輯學的「相繼式」用法）
II. 結構I加上否定：¬(A ∧ B)
- 推理規則：¬(A ∧ B), A ⊢ ¬B
III. (¬A) ∧ (¬B)
- 推理規則：(¬A), (¬B) ⊢ (¬A) ∧ (¬B)
IV. ¬((¬A) ∧ (¬B))(↔ (A ∨ B); 可簡寫成A或B)
- 推理規則：(A ∨ B), (¬A), ⊢ B
V. (¬A)∧B
VI. ¬((¬A)∧B)弗雷格認為可以表示為「若B則A」(B→A)。若B→A=True，則A=True或B=False
- 又稱假言思想結構
- 推理規則：
  - B→A, B⊢A
  - C→B, B→A⊢C→A
  - B→A⊢¬A→¬B

弗雷格認為這六種思想結構，形成一個封閉的整體。

這六種思想的任一種當基礎，加否定可以推論到其他思想結構。

這六種思想結構是同等有效。

思想六並不表達因果聯繫（自然語言的「若A則B」所包含的因果聯繫）

弗雷格：「對於思想只應該考慮它是真的，還是假的，實際上根本不應該考慮思想內容本身。」

一個思想結構可以由3個以上的思想構成。

思想的普遍性

「所有人會死」、「每個人會死」、「若某物是人，則其會死」

這裡的假言句加變數、每個、所有都是表達普遍性。但是，就算「月亮和自身相等」可以推到「月亮和月亮相等」；「所有事物和自身相等」不能推到「所有事物和所有事物相等」，因為，這裡量詞多次出現和專名多次出現不同，會改變意義

假言句加上某物和其可以表達普遍性，但是可以用變數來取代。

「若a是人，則a會死」是有思想的句子，但是「a是人」和「a會死」，因為a不確定，所以這兩句無法確定真假，從而不是句子。

這種句子才能表達普遍性，前面可以加「無論a是什麼」強調(∀a)：

「F(a)→G(a)」

普遍性的論述，其實是對全稱量詞的說明。

第七章：對邏輯的貢獻

邏輯在中世紀被重視（和語言學綁在一起），但文藝復興之後，邏輯地位下降（因為對宗教神學的批評），且邏輯和認識論、心理學捆在一起。弗雷格作為現代邏輯的開創者，將邏輯從其他學術之中獨立出來，並認為邏輯是對於「真」的研究。

弗雷格認為：真是最基始的，不可能還原為更簡單的東西。

「真」的東西不需要人承認才是真的。

真和斷定句有關係，所以真涉及句子。

真是表示東西具有其原本的性質，真如果解釋為「表象和現實一致」，那就要研究表象和現實實體是不是一致，又涉及「真」的問題，從而變成一種循環。所以弗雷格主張真是不可定義的。

他認為，「把某物看作真」不是「實真」

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