東大圖書《弗雷格》筆記

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ISBN 9571918199

這是講述弗雷格哲學的簡介，弗雷格是語言哲學之父，奠基現代邏輯學，也是分析哲學的鼻祖。作者王路是漢語圈研究弗雷格的哲學家，來自中國。

第一章：生平簡介

略

第二章：概念文字

古代已經有符號化表示命題的方式（亞里斯多德），萊布尼茲也提出一個邏輯化的語言來表示人類思維的方法。弗雷格使用的概念文字，是一種結合數學文字和自然語言，卻又揚棄自然語言表達邏輯的不完美。可以說是形式邏輯的奠基者。

書中並未介紹其理念的表現形式（排版過於困難，可以參考：Translations from the Philosopical Writing of Gottlob Frege 筆記-概念文字 第一章），雖然從形式可以看出，作者想要表達的是現在的一階邏輯（謂詞邏輯），但作者提出9條一階邏輯的公理，組成帶等號符=的一階邏輯系統：

公理

1. a ->(b->a)
2. (c->(b->a))->((c->b)->(c->a))
3. (d->(b->a)) -> (b->(d->a))
4. (b->a)->(a->b)
5. ¬¬a -> a
6. a->¬¬a
7. (a=d)->(f(c)->f(d))
8. c=c
9. ∀xF(x)->F(a)

推導規則

1. A->B, A⊢B
2. A->F(a) )( ⊢A->∀xF(x) 僅當a不於結論中出現。（註：「)(」不知道是什麼符號）

弗雷格證明這是soundness，但是沒有證明他的completeness，後來由Godel證明完成。

弗雷格認為句子和概念內容是區別的，比如「我被他打」和「他打我」形式不同，表達意思相同，只是給讀者的心理作用不同。所以形式邏輯是一種「去心理主義」的推論方式。

弗雷格的系統引進謂詞「……是事實」，就是「⊢」（可以視為判斷符號）。「A」是句子 sentence，「--A」是內容，「|---A」是判斷。

亞里斯多德：概念->判斷->邏輯。弗雷格先引入判斷，直接進入對推理的研究。

「命題邏輯」->「一階邏輯」->現代邏輯系統

將判斷核心化，實際上把句子核心地位化，對哲學產生深刻影響。

引入函數和變數（自變元）的概念，從數學而來。

亞里斯多德：單稱命題（如：蘇格拉底是人）、普遍命題（分成全稱命題和特稱命題）

其中單稱命題在邏輯上的推論缺陷，在概念文字得到解決。

二元關係（可以視為二元謂詞，離散數學應該會提到），「|----R(x, y)」放在現在數學，可以表示為：「x R y」。

傳統邏輯「主詞+繫辭+謂詞」被打破，個體c和自變元一起引入邏輯。

邏輯以前用自然語言表達，和心理學和認識論綁在一起，影響發展。後來發展形式邏輯，邏輯快速發展

• 數理邏輯
  • 證明論
  • 公理集合論
  • 遞迴論
  • 模型論
• 哲學邏輯
  • 模態邏輯
  • 時態邏輯
  • 道義邏輯
  • 認知邏輯
  • 命令句邏輯
  • 問句邏輯

等等

因為使用形式語言和數學方法，所以促使邏輯從哲學獨立，現今邏輯學應用於哲學、工程學、語言學等等。

第三章：算數基礎

弗雷格的心願是從邏輯推衍到數學（雖然因為羅素悖論被打敗了），就是所謂的邏輯主義（關於這種數學推演的派別，可以見「同構：編程中的數學」的最後一章「悖論」）。系列著作：

1. 概念文字
2. 算數基礎
3. 算數的基本規律 vol.1,2（未完成）

算數基礎：探討什麼是數，試圖用邏輯定義0,1和後繼（如(S n)的 S）。

為了說明什麼是數，弗雷格的三條方法論：

1. 心理學和邏輯、主觀和客觀要區別
2. 在句子聯繫中研究意謂，而非個別研究意謂（語境原則）——弗雷格從語言出發，分析數在語言的表現形式，說明數的性質。
3. 時刻看到概念和對象的區別

弗雷格認為數是專名（專有名詞），指一個object（對象），不是概念詞（指有同樣類型的東西）。

經驗主義者認為，數是對外界物體的抽象（比如說五隻牛抽象成為「5」+「牛」)

但是弗雷格認為，數和顏色不同。比如說「綠色的葉子」和「1000片葉子」相比，數字1000不是葉子內含的屬性（不同於顏色）

數和事物連接起來，就依賴理解。弗雷格認為我們把什麼賦予事物，取決於我們的思考方式。

弗雷格認為一個概念是從屬於一定範圍的事物抽象，那就不可能有意義應用於這個範圍以外的事物。比如說：顏色是從物質抽象而來，那「某某色的數」就不能用，從而和經驗主義者的「數從物理世界抽象，也可以用於描述物理以外的事物」矛盾。

另外對於主觀主義（數是心理創造），弗雷格的方法論認為「要區別心理學和邏輯」，弗雷格認為數不是心理學裡面的東西。他主張「數不是外界事物、主觀事物，而是某種客觀的東西」。弗雷格認為，客觀的東西和現實的東西是不同的，比如赤道，是透過思維被認識到，被把握的。

也就可以分為：客觀外界世界、主觀世界、另一個包含數存在的世界。

弗雷格的結論

1. 數不是外界事物的性質
2. 數的概念不是透過獲取顏色等等抽象方法得到的
3. 數不是心靈或主觀的實體

弗雷格用「這裡有4個連」和「這裡有500個人」比較，雖然指涉的群體和本質不變，但是概念詞改變，所以弗雷格主張：「數的給出包含對一個概念的表達」。數表達的不是對象的性質，而是概念的性質。

第一層次概念應用於對象，第二層次概念包含數，用來說明第一層次的概念。

概念是數的載體。

函數以個體為自變數，量詞（∀、∃）以函數為自變數。

對於0, 1和後繼（S(n)）的定義：

假設F是一元謂詞，N x Fx代表「屬於X這個概念（概念有『凱薩大帝、地球、獨角獸、臺灣人』的數）」，則 （以下的公式稍作等價公式的替換，以利理解）：

• N x F x=0 表示∀x.¬x
• N x F x=1 表示∃x.(F x ∧ ∀x ∀y(Fx∧Fy →x = y))
• N x F x=n+1 表示∃x.(F x ∧ N y (Fy ∧ y ≠ x) = n) #註：這裡奇怪的是為什麼沒有給y的量詞

弗雷格反對這種定義：

• 數字並沒有作為單稱詞使用，也無法把0、1確定為可重認且獨立的對象(即無法說明0是獨一無二且和其他數不同)
• 因此無法重認一個數，從而無法確認一個數和另一個數是否相同。

數的相等必須藉由（其內元素間）「一一對應」來定義。

用如果a和b平行，則「和a平行的線」的外延和「和b平行的線」的外延相等，弗雷格用外延來說明數的定義：

「屬於概念F的數，是『與概念F等數』的概念的外延」。（也就是所有數量為2的概念（布爾邏輯值、圍棋子的顏色等）的外延，是2，就是屬於布爾邏輯值概念的數。）

根據相等=的解釋：

同一個數屬於概念F且屬於概念G ↔「與概念F等數的」這個概念的外延 = 「與概念G等數的」這個概念的外延

一一對應是什麼呢？

∃ɸ是二元關係，若「 ∀x∈F, ∃y ∈G, ɸ x y 」且「∃x∈F, ∀y ∈G, ɸ x y」則F和G相互對應（一一對應）

概念F和概念G是等數的 ≝ ∃R 使概念F下的對象（元素）和使概念G下的對象一一對應。

算數基礎規律中使用外延區別數，但是這種引入外延產生了悖論。

邏輯主義主張可以用邏輯推演導出算數，雖然後來有類型論進行悖論的補救，也有直覺主義邏輯等等的，可以參考《同構：編程中的數學》最後一章。

康德主張判斷分為「先驗的和後驗的」、「分析的和綜合的」

弗雷格主張：

• 一個命題是分析的<=>可以純粹基於邏輯規律和定義轉換來證明該命題
• 先驗命題：不訴諸事實，而從一般規律中推論出來的

為了證明數學，需要假設一些公設axiom：

當時最有名的是皮亞諾公設，但弗雷格並沒有表述皮亞諾公理：

1. N 0 // 0是自然數
2. ∀x (N x→∃ y (N y∧ (S(x) = y))) //對於所有自然數x有y為後繼( S x = Succ (x), i.e. x + 1)
3. ∀x∀y(N x ∧ N y →(x=y↔S(x)=S(y))) //相同的自然數有相同的後繼，不同的有不同的後繼
4. ∀x(N x→0≠S(x)) //0不是任何自然數的後繼
5. ∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0，且若 F x 則 F (S (x))，則對所有自然數n則F n。

為什麼邏輯主義失敗，人們認為有三大原因：

• 羅素悖論
• 哥德爾不完備定理（有些定理不能在皮亞諾公設下被證明）
• 弗雷格認為邏輯包含集合論，但是現代集合論的發展，應該是把集合論當成數學的一部分（分支）。

悖論和弗雷格的公理V相關，用現代邏輯符號表述如下： 對於所有概念F， ∀F∀G [{x|F x} = {x| G x}]↔∀x (F x ↔G x)

因此 [{x|F x} = {x| F x}]↔∀x (F x ↔F x)

{x|F x} = {x| F x} #分離原則

∃y. y = {x|F x}#存在概括（註：注意，這裡y這個item綁到集合）

因為F是任何概念，所以引入二階量詞則：

∀F.∃y. y = {x|F x}......(a) 也就是：對於所有F謂詞，有類別y=「滿足F謂詞的所有x元素的集合」。

但是我們有一個定理，是∃R.R={x|¬x∈x}（也就是 把(a)式的 F x = ¬x∈x再代入）

但這樣可好！如果R∈R，則¬R∈R（亦即R∈R→¬R∈R）但若¬(R∈R)，則因為滿足R的¬x∈x，因此R∈R，所以R∈R∧¬R∈R，所以矛盾。

後來羅素提出類型論(Type Theory)，但是因為類型限制，就無法對「無限性」提出證明（註：根據《同構：編程中的數學》p.226，羅素使用無窮公理，將無窮公理化，但是變成公理就無法證明）。

註：現在PL（Programming Language，程式語言）領域用的是改良後的類型論。

仍然也是有人為弗雷格的邏輯主義辯護。

本文作者最後評論，本體論的意義上，弗雷格說明顏色和數不同，數上可以有相等，顏色上沒有數學上的相等的概念，用相等可以重認一個數。

第四章：概念與對象

這裡還是用到數學的概念。

1. 函數是不完整的。比如 __ * x + 2

2. 自變元是完整、獨立的。如：x、3、10

3. 自變元不等於函數，但是這兩個建立一個完整的個體。

4. 函數補以自變元，就是自變元的函數值。

函數的擴展：

1. 等號是等式的斷定句，有等號就可以談論句子。
2. 引入專名可以討論「數」以外的一般事物。

假設有這個函數 λx. x^2 == 1（註：在此借用lambda函數，下同），則函數代入x=2、x=3，函數的值是假；代入-1、1是真。所以：

5.有等號的函數，其值是真值（就是現在所說的boolean值，true或false）

除數以外，真值也可以當做自變元。

現有函數「------x」，若是用真當自變元，該函數的值是true，如果是非true（比如false或是一個數），則回傳false。

  ---2+2 = 4是真，------1+3=6是假，-------5是假

∀xF(x)表達：

1. 對於所有的x（無論什麼當做自變元x），F(x)恆真，比如∀x(x = x)
2. 假。∀x(x^2 =1)有可能是真，有可能是假，註：但因為「對於所有」∀這個量詞，所以整體出來的值是假，因此可以否定：
   1. ¬∀x(x^2 =1)

¬∀x¬f(x) = ∃x f(x)

我們想若是∀xF(x)，不把數或是專名，而把函數當成自變元的話，變成：∀x___(x)

6. 也就是：函數不僅可用個體的數做自變元，而且也可用「含有數或個體的函數」做自變元。

因此可以推衍到二階邏輯（層次不同）。

另一面，7. 函數本身也可以有很多個自變元（多變數函數）（註：但不是函數層次不同）

為什麼要擴展函數？這種擴展有沒有道理？

弗雷格是想用函數說明概念的性質，比如λx.x^2=1可以表示「__是1的平方根」，後者是一個概念，不是句子。但是這樣說明函數和概念具有相似性。

藉由引入專名，可以討論一般的句子。

對於這種擴展有無道理，弗雷格主張：「算數是進一步發展的邏輯。」「算數的符號語言必然擴展為一種邏輯的符號語言」，這裡有邏輯主義的特色。

弗雷格說：「一個概念是一個總是回傳boolean值的函數」（用現在的語言來說）

概念有「___是人」、「___會說話」這樣的特性，所以概念是不滿足的。

自然語言概念的回傳值，是不是也是回傳真或假呢？舉例：「X征服高盧」，X=凱薩時為真；X=龐培時為假，所以概念具有回傳真或假的情況。

傳統觀念認為，概念是客觀事物在人腦抽象概括的反映。因此就有「雪是白的」，要瞭解概念就需要從詞語的內涵和外延瞭解。但和boolean值沒關係。

弗雷格認為，概念起謂語作用（……是行星）。概念詞（行星）的意謂是「概念」。類名（行星、哺乳類等）的意謂是概念，謂語也是概念。概念的「謂述性」需要補充，類似函數的不完全性。

主詞有謂述性嗎？弗雷格認為謂述性的主詞（比如類詞）的句子要這樣處理「哺乳動物（類詞）都有紅血（謂語）」轉換為「∀x.哺乳動物(x)->有紅血(x)」。

專名有兩種：

• 專有名詞：張三（不能進一步分析）
• 專有名詞+概念詞：張三的老師->可以轉為「老師(張三)」這個輸入專有名詞的輸出函數值。

謂詞弗雷格有時用謂詞，有時用概念詞稱之。

謂語=「句子-主語的專名」比如：「柏拉圖的弟子是古希臘人」->「____是古希臘人」

弗雷格認為「哲學家」類語和「是哲學家」謂語，形式不同，但是意謂相同，他們的意謂是概念，而且是同一個。

弗雷格認為兩個是有不同：

• 「晨星是金星」，這裡的是指相等=
• 「晨星是行星」，這裡的是指連詞，只有語法作用，沒有具體意義。

對象和概念不同的。

概念是謂詞的意謂，對象是這種東西：可能是主詞的意謂（比如說「蘇格拉底」這詞所指的人），但絕不是謂詞的全部意謂。

概念和對象的關係：

1. 用一個專名補充一個謂詞得到一句子，句子有意義（完整的）和意謂，值為真假值。
2. 概念和boolean值相聯繫，形成概念和對象的一個顯著區別。「美國的首都」是一個專名，「x是美國首都」是概念，回傳真假值。
3. 因為概念和boolean聯繫，概念真假由所代入的對象決定。
   1. 一個對象處於一個概念下（x∈概念y、x是y），指涉「概念y是x的性質」、「x在概念y下」

弗雷格認為存在是二階概念，「上帝存在」表達的是「上帝(___)」，這句是不滿足的，並沒有把上帝當一個個體，所以主張其證明不存在。

多元函數揭示關係（如離散數學），但是弗雷格沒有討論關係。

弗雷格認為，一個對象處於一個概念；概念也可以處於另一個概念下。

個人心得：我覺得「x的老師」和「x是老師」是不同的函數，一個回傳人，一個回傳boolean

第五章 意義和意謂

一個符號（句子、或是一個詞、狹義的符號）有某種意義，但不一定有意謂。

意謂指的是符號所指涉的實際物體。另外意謂這個詞bedeutung在英文的翻譯以及中文的翻譯有爭議。

意謂就像月亮，意義就像投射到望遠鏡透鏡的像，表象像是到視網膜的投影。

專名的意義：

1. 專名表達的
2. 和意謂不同
3. 是句子表達的思想的一部分
4. 專名的意義是客觀的，不依賴於主觀意識，且可被許多人共同把握。

弗雷格認為：直陳句的意謂就是句子的boolean值。

「晨星是被太陽照亮的物體」和「昏星是被太陽照亮的物體」。對於不瞭解晨星和昏星都是金星的人，可能有不同的認識（比如認為兩者不可能同時為真）。註：可能這裡意思是「意義是符號給人的描述的結果的一種暗示（比如：「一顆星，是早晨看見」和「一顆星，是黃昏看見」）」

「奧德賽在沉睡中被放到伊薩卡岸上」：句子有意義，但意謂不確定，因為我們不知道句子部分（專名奧德賽）所指的意謂（對象）是誰。

句子的意義是其思想，句子的意謂是其真值。

句子的重要性質

1. 若句子意謂是其boolean value，如果句子一部分被意義不同，意謂相同的表達式替代時，句子的真值需保持不變。
2. 如果一個句子的真值即為其意謂，那所有真句子具有相同意謂，所有假句子也有相同意謂。

「思想是句子的意義，同樣意謂的句子可以有不同的意義，從而給人不同的認識」

弗雷格舉例從句表達的性質（本書中沒舉例很難懂）

• 從句的意謂是從句的思想
• 從句只表達思想的一部分
• 從句本身表達一個思想
• 從句中有相對應於專名的語詞出現
• 從句表達完整的思想時，有時候一個從句可以被另一個相同的真值句子替代。但不是所有從句都能替代。

意謂-->概念：不是內涵，也不是外延，是回傳boolean的函數，概念要看成函數

對照圖

層次	句子	專名	概念詞
表達式	句子	專名	概念詞
意義	思想	句子意義（思想）的一部分	句子意義（思想）的一部分
意謂 （個人註：要放在形式邏輯的函數觀念下看比較好懂）	布林值	對象	概念（一個回傳布林值的函數）
			屬於這個概念下的對象

benetung 從德文翻譯成英文也有用語的爭議。

弗雷格有沒有後人所說的專名理論？專名理論屬於指謂理論（語言表達式和專名指涉對象的關係）的一種。

現代的專名理論的基本問題

1. 區別專名和摹狀詞
2. 區別專名的意義和所指（專名有沒有意義？專名意義是什麼）
3. 探討專名意義和所指涉的事物的關係（它們如何被決定的）

如果弗雷格要建立專名理論，爲什麼不區別專名（如「蘇格拉底」）和摹狀詞（比如「柏拉圖的老師」）？

要理解一個專名的意義，就要對使用的語言有足夠認識，但若是從這種意義得到意謂，終究只是片段的說明（就是這個意義）（比如：誕生於某某地，且生於某年，且爲哲學家=>可以反推到哲學家P），如果我們能夠從每個被給定的意義推論這是什麼意謂，那我們就要對意謂的目標全知，但我們達不到。

個體（比如張三）的定義問題。我們很難對一個個體給出完整的摹狀說明，但可以僅舉部分而得到理解是這個個體。

弗雷格不區別專名和摹狀詞，也不專門探討專名的意義，強調意謂。

作者認爲弗雷格對專名的論述是爲說明句子結構用，不是建立「專名理論」。

弗雷格理論中，專名要有所指的事物，纔能讓句子有真值。所以「當今的法國國王禿頭」就沒有真值（法國已經改爲共和制）

照現在語言學家的觀點，弗雷格將句子處理爲專名不妥，因爲句子的認識作用和專名的認識作用不同。

「現代邏輯在向自然語言分析的擴展過程，總是存在一些差異，切忌生搬硬套」。

心得：不知道「句子的意義」是不是句子敘述的同義語（比如詞典解釋）的表達式擴展？比如「哲學家(亞里斯多德)」擴展爲「∃X. 名字(X,亞里斯多德) AND 研究(X,哲學)」，但是書中也沒明說。

第六章：思想

只有斷定句才有思想（命令句、疑問句沒有思想），非斷定句通常沒有思想。思想和真相關（是用來推論一個句子是否為真的媒介）。

句子的意義是思想，意謂是真值。

斷定句有思想和斷定

• 對思想的把握：思維
• 對思想的真的肯定：判斷
• 對判斷的表達：斷定

TODO