東大圖書《弗雷格》筆記

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ISBN 9571918199

這是講述弗雷格哲學的簡介，弗雷格是語言哲學之父，奠基現代邏輯學，也是分析哲學的鼻祖。作者王路是漢語圈研究弗雷格的哲學家，來自中國。

第一章：生平簡介

略

第二章：概念文字

古代已經有符號化表示命題的方式（亞里斯多德），萊布尼茲也提出一個邏輯化的語言來表示人類思維的方法。弗雷格使用的概念文字，是一種結合數學文字和自然語言，卻又揚棄自然語言表達邏輯的不完美。可以說是形式邏輯的奠基者。

書中並未介紹其理念的表現形式（排版過於困難，可以參考：Translations from the Philosopical Writing of Gottlob Frege 筆記-概念文字 第一章），雖然從形式可以看出，作者想要表達的是現在的一階邏輯（謂詞邏輯），但作者提出9條一階邏輯的公理，組成帶等號符=的一階邏輯系統：

公理

1. a ->(b->a)
2. (c->(b->a))->((c->b)->(c->a))
3. (d->(b->a)) -> (b->(d->a))
4. (b->a)->(a->b)
5. ¬¬a -> a
6. a->¬¬a
7. (a=d)->(f(c)->f(d))
8. c=c
9. ∀xF(x)->F(a)

推導規則

1. A->B, A⊢B
2. A->F(a) )( ⊢A->∀xF(x) 僅當a不於結論中出現。（註：「)(」不知道是什麼符號）

弗雷格證明這是soundness，但是沒有證明他的completeness，後來由Godel證明完成。

弗雷格認為句子和概念內容是區別的，比如「我被他打」和「他打我」形式不同，表達意思相同，只是給讀者的心理作用不同。所以形式邏輯是一種「去心理主義」的推論方式。

弗雷格的系統引進謂詞「……是事實」，就是「⊢」（可以視為判斷符號）。「A」是句子 sentence，「--A」是內容，「|---A」是判斷。

亞里斯多德：概念->判斷->邏輯。弗雷格先引入判斷，直接進入對推理的研究。

「命題邏輯」->「一階邏輯」->現代邏輯系統

將判斷核心化，實際上把句子核心地位化，對哲學產生深刻影響。

引入函數和變數（自變元）的概念，從數學而來。

亞里斯多德：單稱命題（如：蘇格拉底是人）、普遍命題（分成全稱命題和特稱命題）

其中單稱命題在邏輯上的推論缺陷，在概念文字得到解決。

二元關係（可以視為二元謂詞，離散數學應該會提到），「|----R(x, y)」放在現在數學，可以表示為：「x R y」。

傳統邏輯「主詞+繫辭+謂詞」被打破，個體c和自變元一起引入邏輯。

邏輯以前用自然語言表達，和心理學和認識論綁在一起，影響發展。後來發展形式邏輯，邏輯快速發展

• 數理邏輯
  • 證明論
  • 公理集合論
  • 遞迴論
  • 模型論
• 哲學邏輯
  • 模態邏輯
  • 時態邏輯
  • 道義邏輯
  • 認知邏輯
  • 命令句邏輯
  • 問句邏輯

等等

因為使用形式語言和數學方法，所以促使邏輯從哲學獨立，現今邏輯學應用於哲學、工程學、語言學等等。

第三章：算數基礎

弗雷格的心願是從邏輯推衍到數學（雖然因為羅素悖論被打敗了），就是所謂的邏輯主義（關於這種數學推演的派別，可以見「同構：編程中的數學」的最後一章「悖論」）。系列著作：

1. 概念文字
2. 算數基礎
3. 算數的基本規律 vol.1,2（未完成）

算數基礎：探討什麼是數，試圖用邏輯定義0,1和後繼（如(S n)的 S）。

為了說明什麼是數，弗雷格的三條方法論：

1. 心理學和邏輯、主觀和客觀要區別
2. 在句子聯繫中研究意謂，而非個別研究意謂（語境原則）——弗雷格從語言出發，分析數在語言的表現形式，說明數的性質。
3. 時刻看到概念和對象的區別

弗雷格認為數是專名（專有名詞），指一個object（對象），不是概念詞（指有同樣類型的東西）。

經驗主義者認為，數是對外界物體的抽象（比如說五隻牛抽象成為「5」+「牛」)

但是弗雷格認為，數和顏色不同。比如說「綠色的葉子」和「1000片葉子」相比，數字1000不是葉子內含的屬性（不同於顏色）

數和事物連接起來，就依賴理解。弗雷格認為我們把什麼賦予事物，取決於我們的思考方式。

弗雷格認為一個概念是從屬於一定範圍的事物抽象，那就不可能有意義應用於這個範圍以外的事物。比如說：顏色是從物質抽象而來，那「某某色的數」就不能用，從而和經驗主義者的「數從物理世界抽象，也可以用於描述物理以外的事物」矛盾。

另外對於主觀主義（數是心理創造），弗雷格的方法論認為「要區別心理學和邏輯」，弗雷格認為數不是心理學裡面的東西。他主張「數不是外界事物、主觀事物，而是某種客觀的東西」。弗雷格認為，客觀的東西和現實的東西是不同的，比如赤道，是透過思維被認識到，被把握的。

也就可以分為：客觀外界世界、主觀世界、另一個包含數存在的世界。

弗雷格的結論

1. 數不是外界事物的性質
2. 數的概念不是透過獲取顏色等等抽象方法得到的
3. 數不是心靈或主觀的實體

弗雷格用「這裡有4個連」和「這裡有500個人」比較，雖然指涉的群體和本質不變，但是概念詞改變，所以弗雷格主張：「數的給出包含對一個概念的表達」。數表達的不是對象的性質，而是概念的性質。

第一層次概念應用於對象，第二層次概念包含數，用來說明第一層次的概念。

概念是數的載體。

函數以個體為自變數，量詞（∀、∃）以函數為自變數。

對於0, 1和後繼（S(n)）的定義：

假設F是一元謂詞，N x Fx代表「屬於X這個概念（概念有『凱薩大帝、地球、獨角獸、臺灣人』的數）」，則 （以下的公式稍作等價公式的替換，以利理解）：

• N x F x=0 表示∀x.¬x
• N x F x=1 表示∃x.(F x ∧ ∀x ∀y(Fx∧Fy →x = y))
• N x F x=n+1 表示∃x.(F x ∧ N y (Fy ∧ y ≠ x) = n) #註：這裡奇怪的是為什麼沒有給y的量詞

弗雷格反對這種定義：

• 數字並沒有作為單稱詞使用，也無法把0、1確定為可重認且獨立的對象(即無法說明0是獨一無二且和其他數不同)
• 因此無法重認一個數，從而無法確認一個數和另一個數是否相同。

數的相等必須藉由（其內元素間）「一一對應」來定義。

用如果a和b平行，則「和a平行的線」的外延和「和b平行的線」的外延相等，弗雷格用外延來說明數的定義：

「屬於概念F的數，是『與概念F等數』的概念的外延」。（也就是所有數量為2的概念（布爾邏輯值、圍棋子的顏色等）的外延，是2，就是屬於布爾邏輯值概念的數。）

根據相等=的解釋：

同一個數屬於概念F且屬於概念G ↔「與概念F等數的」這個概念的外延 = 「與概念G等數的」這個概念的外延

一一對應是什麼呢？

∃ɸ是二元關係，若「 ∀x∈F, ∃y ∈G, ɸ x y 」且「∃x∈F, ∀y ∈G, ɸ x y」則F和G相互對應（一一對應）

概念F和概念G是等數的 ≝ ∃R 使概念F下的對象（元素）和使概念G下的對象一一對應。

算數基礎規律中使用外延區別數，但是這種引入外延產生了悖論。

邏輯主義主張可以用邏輯推演導出算數，雖然後來有類型論進行悖論的補救，也有直覺主義邏輯等等的，可以參考《同構：編程中的數學》最後一章。

康德主張判斷分為「先驗的和後驗的」、「分析的和綜合的」

弗雷格主張：

• 一個命題是分析的<=>可以純粹基於邏輯規律和定義轉換來證明該命題
• 先驗命題：不訴諸事實，而從一般規律中推論出來的

為了證明數學，需要假設一些公設axiom：

當時最有名的是皮亞諾公設，但弗雷格並沒有表述皮亞諾公理：

1. N 0 // 0是自然數
2. ∀x (N x→∃ y (N y∧ (S(x) = y))) //對於所有自然數x有y為後繼( S x = Succ (x), i.e. x + 1)
3. ∀x∀y(N x ∧ N y →(x=y↔S(x)=S(y))) //相同的自然數有相同的後繼，不同的有不同的後繼
4. ∀x(N x→0≠S(x)) //0不是任何自然數的後繼
5. ∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0，且若 F x 則 F (S (x))，則對所有自然數n則F n。

為什麼邏輯主義失敗，人們認為有三大原因：

• 羅素悖論
• 哥德爾不完備定理（有些定理不能在皮亞諾公設下被證明）
• 弗雷格認為邏輯包含集合論，但是現代集合論的發展，應該是把集合論當成數學的一部分（分支）。

悖論和弗雷格的公理V相關，用現代邏輯符號表述如下： 對於所有概念F， ∀F∀G [{x|F x} = {x| G x}]↔∀x (F x ↔G x)

因此 [{x|F x} = {x| F x}]↔∀x (F x ↔F x)

{x|F x} = {x| F x} #分離原則

∃y. y = {x|F x}#存在概括（註：注意，這裡y這個item綁到集合）

因為F是任何概念，所以引入二階量詞則：

∀F.∃y. y = {x|F x}......(a) 也就是：對於所有F謂詞，有類別y=「滿足F謂詞的所有x元素的集合」。

但是我們有一個定理，是∃R.R={x|¬x∈x}（也就是 把(a)式的 F x = ¬x∈x再代入）

但這樣可好！如果R∈R，則¬R∈R（亦即R∈R→¬R∈R）但若¬(R∈R)，則因為滿足R的¬x∈x，因此R∈R，所以R∈R∧¬R∈R，所以矛盾。

後來羅素提出類型論(Type Theory)，但是因為類型限制，就無法對「無限性」提出證明（註：根據《同構：編程中的數學》p.226，羅素使用無窮公理，將無窮公理化，但是變成公理就無法證明）。

註：現在PL（Programming Language，程式語言）領域用的是改良後的類型論。

仍然也是有人為弗雷格的邏輯主義辯護。

本文作者最後評論，本體論的意義上，弗雷格說明顏色和數不同，數上可以有相等，顏色上沒有數學上的相等的概念，用相等可以重認一個數。

第四章：概念與對象

這裡還是用到數學的概念。

1. 函數是不完整的。比如 __ * x + 2

2. 自變元是完整、獨立的。如：x、3、10

3. 自變元不等於函數，但是這兩個建立一個完整的個體。

4. 函數補以自變元，就是自變元的函數值。

函數的擴展：

1. 等號是等式的斷定句，有等號就可以談論句子。
2. 引入專名可以討論「數」以外的一般事物。

假設有這個函數 λx. x^2 == 1（註：在此借用lambda函數，下同），則函數代入x=2、x=3，函數的值是假；代入-1、1是真。所以：

5.有等號的函數，其值是真值（就是現在所說的boolean值，true或false）

除數以外，真值也可以當做自變元。

現有函數「------x」，若是用真當自變元，該函數的值是true，如果是非true（比如false或是一個數），則回傳false。

---

2+2 = 4是真，------1+3=6是假，-------5是假

∀xF(x)表達：

1. 對於所有的x（無論什麼當做自變元x），F(x)恆真，比如∀x(x = x)
2. 假。∀x(x^2 =1)有可能是真，有可能是假，註：但因為「對於所有」∀這個量詞，所以整體出來的值是假，因此可以否定：
   1. ¬∀x(x^2 =1)

¬∀x¬f(x) = ∃x f(x)

我們想若是∀xF(x)，不把數或是專名，而把函數當成自變元的話，變成：∀x___(x)

6. 也就是：函數不僅可用個體的數做自變元，而且也可用「含有數或個體的函數」做自變元。

因此可以推衍到二階邏輯（層次不同）。

另一面，7. 函數本身也可以有很多個自變元（多變數函數）（註：但不是函數層次不同）

為什麼要擴展函數？這種擴展有沒有道理？

弗雷格是想用函數說明概念的性質，比如λx.x^2=1可以表示「__是1的平方根」，後者是一個概念，不是句子。但是這樣說明函數和概念具有相似性。

藉由引入專名，可以討論一般的句子。

對於這種擴展有無道理，弗雷格主張：「算數是進一步發展的邏輯。」「算數的符號語言必然擴展為一種邏輯的符號語言」，這裡有邏輯主義的特色。

弗雷格說：「一個概念是一個總是回傳boolean值的函數」（用現在的語言來說）

概念有「___是人」、「___會說話」這樣的特性，所以概念是不滿足的。

自然語言概念的回傳值，是不是也是回傳真或假呢？舉例：「X征服高盧」，X=凱薩時為真；X=龐培時為假，所以概念具有回傳真或假的情況。

傳統觀念認為，概念是客觀事物在人腦抽象概括的反映。因此就有「雪是白的」，要瞭解概念就需要從詞語的內涵和外延瞭解。但和boolean值沒關係。

弗雷格認為，概念起謂語作用（……是行星）。概念詞（行星）的意謂是「概念」。類名（行星、哺乳類等）的意謂是概念，謂語也是概念。概念的「謂述性」需要補充，類似函數的不完全性。

主詞有謂述性嗎？弗雷格認為謂述性的主詞（比如類詞）的句子要這樣處理「哺乳動物（類詞）都有紅血（謂語）」轉換為「∀x.哺乳動物(x)->有紅血(x)」。

專名有兩種：

• 專有名詞：張三（不能進一步分析）
• 專有名詞+概念詞：張三的老師->可以轉為「老師(張三)」這個輸入專有名詞的輸出函數值。

謂詞弗雷格有時用謂詞，有時用概念詞稱之。

謂語=「句子-主語的專名」比如：「柏拉圖的弟子是古希臘人」->「____是古希臘人」

弗雷格認為「哲學家」類語和「是哲學家」謂語，形式不同，但是意謂相同，他們的意謂是概念，而且是同一個。

弗雷格認為兩個是有不同：

• 「晨星是金星」，這裡的是指相等=
• 「晨星是行星」，這裡的是指連詞，只有語法作用，沒有具體意義。

對象和概念不同的。

概念是謂詞的意謂，對象是這種東西：可能是主詞的意謂（比如說「蘇格拉底」這詞所指的人），但絕不是謂詞的全部意謂。

概念和對象的關係：

1. 用一個專名補充一個謂詞得到一句子，句子有意義（完整的）和意謂，值為真假值。
2. 概念和boolean值相聯繫，形成概念和對象的一個顯著區別。「美國的首都」是一個專名，「x是美國首都」是概念，回傳真假值。
3. 因為概念和boolean聯繫，概念真假由所代入的對象決定。
   1. 一個對象處於一個概念下（x∈概念y、x是y），指涉「概念y是x的性質」、「x在概念y下」

弗雷格認為存在是二階概念，「上帝存在」表達的是「上帝(___)」，這句是不滿足的，並沒有把上帝當一個個體，所以主張其證明不存在。

多元函數揭示關係（如離散數學），但是弗雷格沒有討論關係。

一個對象處於一個概念；概念也可以處於另一個概念下。