東大圖書《弗雷格》筆記

於 2024年6月17日 (一) 23:07 由 Tankianting討論 | 貢獻 所做的修訂

ISBN 9571918199

這是講述弗雷格哲學的簡介,弗雷格是語言哲學之父,奠基現代邏輯學,也是分析哲學的鼻祖。作者王路是漢語圈研究弗雷格的哲學家,來自中國。

第一章:生平簡介

第二章:概念文字

古代已經有符號化表示命題的方式(亞里斯多德),萊布尼茲也提出一個邏輯化的語言來表示人類思維的方法。弗雷格使用的概念文字,是一種結合數學文字和自然語言,卻又揚棄自然語言表達邏輯的不完美。可以說是形式邏輯的奠基者。

書中並未介紹其理念的表現形式(排版過於困難,可以參考:Translations from the Philosopical Writing of Gottlob Frege 筆記-概念文字 第一章),雖然從形式可以看出,作者想要表達的是現在的一階邏輯(謂詞邏輯),但作者提出9條一階邏輯的公理,組成帶等號符=的一階邏輯系統:

公理

  1. a ->(b->a)
  2. (c->(b->a))->((c->b)->(c->a))
  3. (d->(b->a)) -> (b->(d->a))
  4. (b->a)->(a->b)
  5. ¬¬a -> a
  6. a->¬¬a
  7. (a=d)->(f(c)->f(d))
  8. c=c
  9. ∀xF(x)->F(a)

推導規則

  1. A->B, A⊢B
  2. A->F(a) )( ⊢A->∀xF(x) 僅當a不於結論中出現。(註:「)(」不知道是什麼符號)

弗雷格證明這是soundness,但是沒有證明他的completeness,後來由Godel證明完成。

弗雷格認為句子和概念內容是區別的,比如「我被他打」和「他打我」形式不同,表達意思相同,只是給讀者的心理作用不同。所以形式邏輯是一種「去心理主義」的推論方式。

弗雷格的系統引進謂詞「……是事實」,就是「⊢」(可以視為判斷符號)。「A」是句子 sentence,「--A」是內容,「|---A」是判斷。

亞里斯多德:概念->判斷->邏輯。弗雷格先引入判斷,直接進入對推理的研究。

「命題邏輯」->「一階邏輯」->現代邏輯系統

將判斷核心化,實際上把句子核心地位化,對哲學產生深刻影響。

引入函數和變數(自變元)的概念,從數學而來。

亞里斯多德:單稱命題(如:蘇格拉底是人)、普遍命題(分成全稱命題和特稱命題)

其中單稱命題在邏輯上的推論缺陷,在概念文字得到解決。

二元關係(可以視為二元謂詞,離散數學應該會提到),「|----R(x, y)」放在現在數學,可以表示為:「x R y」。

傳統邏輯「主詞+繫辭+謂詞」被打破,個體c和自變元一起引入邏輯。

邏輯以前用自然語言表達,和心理學和認識論綁在一起,影響發展。後來發展形式邏輯,邏輯快速發展

  • 數理邏輯
    • 證明論
    • 公理集合論
    • 遞迴論
    • 模型論
  • 哲學邏輯
    • 模態邏輯
    • 時態邏輯
    • 道義邏輯
    • 認知邏輯
    • 命令句邏輯
    • 問句邏輯

等等

因為使用形式語言和數學方法,所以促使邏輯從哲學獨立,現今邏輯學應用於哲學、工程學、語言學等等。

第三章:算數基礎

弗雷格的心願是從邏輯推衍到數學(雖然因為羅素悖論被打敗了),就是所謂的邏輯主義(關於這種數學推演的派別,可以見「同構:編程中的數學」的最後一章「悖論」)。系列著作:

  1. 概念文字
  2. 算數基礎
  3. 算數的基本規律 vol.1,2(未完成)

算數基礎:探討什麼是數,試圖用邏輯定義0,1和後繼(如(S n)的 S)。

為了說明什麼是數,弗雷格的三條方法論:

  1. 心理學和邏輯、主觀和客觀要區別
  2. 在句子聯繫中研究意謂,而非個別研究意謂(語境原則)——弗雷格從語言出發,分析數在語言的表現形式,說明數的性質。
  3. 時刻看到概念和對象的區別

弗雷格認為數是專名(專有名詞),指一個object(對象),不是概念詞(指有同樣類型的東西)。

經驗主義者認為,數是對外界物體的抽象(比如說五隻牛抽象成為「5」+「牛」)

但是弗雷格認為,數和顏色不同。比如說「綠色的葉子」和「1000片葉子」相比,數字1000不是葉子內含的屬性(不同於顏色)

數和事物連接起來,就依賴理解。弗雷格認為我們把什麼賦予事物,取決於我們的思考方式。

弗雷格認為一個概念是從屬於一定範圍的事物抽象,那就不可能有意義應用於這個範圍以外的事物。比如說:顏色是從物質抽象而來,那「某某色的數」就不能用,從而和經驗主義者的「數從物理世界抽象,也可以用於描述物理以外的事物」矛盾。

另外對於主觀主義(數是心理創造),弗雷格的方法論認為「要區別心理學和邏輯」,弗雷格認為數不是心理學裡面的東西。他主張「數不是外界事物、主觀事物,而是某種客觀的東西」。弗雷格認為,客觀的東西和現實的東西是不同的,比如赤道,是透過思維被認識到,被把握的。

也就可以分為:客觀外界世界、主觀世界、另一個包含數存在的世界。

弗雷格的結論

  1. 數不是外界事物的性質
  2. 數的概念不是透過獲取顏色等等抽象方法得到的
  3. 數不是心靈或主觀的實體

弗雷格用「這裡有4個連」和「這裡有500個人」比較,雖然指涉的群體和本質不變,但是概念詞改變,所以弗雷格主張:「數的給出包含對一個概念的表達」。數表達的不是對象的性質,而是概念的性質。

第一層次概念應用於對象,第二層次概念包含數,用來說明第一層次的概念。

概念是數的載體。

函數以個體為自變數,量詞(∀、∃)以函數為自變數。

對於0, 1和後繼(S(n))的定義:

假設F是一元謂詞,N x Fx代表「屬於X這個概念(概念有『凱薩大帝、地球、獨角獸、臺灣人』的數)」,則 (以下的公式稍作等價公式的替換,以利理解):

  • N x F x=0 表示∀x.¬x
  • N x F x=1 表示∃x.(F x ∧ ∀x ∀y(Fx∧Fy →x = y))
  • N x F x=n+1 表示∃x.(F x ∧ N y (Fy ∧ y ≠ x) = n) #註:這裡奇怪的是為什麼沒有給y的量詞

弗雷格反對這種定義:

  • 數字並沒有作為單稱詞使用,也無法把0、1確定為可重認且獨立的對象(即無法說明0是獨一無二且和其他數不同)
  • 因此無法重認一個數,從而無法確認一個數和另一個數是否相同。

數的相等必須藉由(其內元素間)「一一對應」來定義。

用如果a和b平行,則「和a平行的線」的外延和「和b平行的線」的外延相等,弗雷格用外延來說明數的定義:

「屬於概念F的數,是『與概念F等數』的概念的外延」。(也就是所有數量為2的概念(布爾邏輯值、圍棋子的顏色等)的外延,是2,就是屬於布爾邏輯值概念的數。)

根據相等=的解釋:

同一個數屬於概念F且屬於概念G ↔「與概念F等數的」這個概念的外延 = 「與概念G等數的」這個概念的外延

一一對應是什麼呢?

∃ɸ是二元關係,若「 ∀x∈F, ∃y ∈G, ɸ x y 」且「∃x∈F, ∀y ∈G, ɸ x y」則F和G相互對應(一一對應)

概念F和概念G是等數的 ≝ ∃R 使概念F下的對象(元素)和使概念G下的對象一一對應。

算數基礎規律中使用外延區別數,但是這種引入外延產生了悖論。

邏輯主義主張可以用邏輯推演導出算數,雖然後來有類型論進行悖論的補救,也有直覺主義邏輯等等的,可以參考《同構:編程中的數學》最後一章。

康德主張判斷分為「先驗的和後驗的」、「分析的和綜合的」

弗雷格主張:

  • 一個命題是分析的<=>可以純粹基於邏輯規律和定義轉換來證明該命題
  • 先驗命題:不訴諸事實,而從一般規律中推論出來的

為了證明數學,需要假設一些公設axiom:

當時最有名的是皮亞諾公設,但弗雷格並沒有表述皮亞諾公理:

  1. N 0 // 0是自然數
  2. ∀x (N x→∃ y (N y∧ (S(x) = y))) //對於所有自然數x有y為後繼( S x = Succ (x), i.e. x + 1)
  3. ∀x∀y(N x ∧ N y →(x=y↔S(x)=S(y))) //相同的自然數有相同的後繼,不同的有不同的後繼
  4. ∀x(N x→0≠S(x)) //0不是任何自然數的後繼
  5. ∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0,且若 F x 則 F (S (x)),則對所有自然數n則F n。

為什麼邏輯主義失敗,人們認為有三大原因:

  • 羅素悖論
  • 哥德爾不完備定理(有些定理不能在皮亞諾公設下被證明)
  • 弗雷格認為邏輯包含集合論,但是現代集合論的發展,應該是把集合論當成數學的一部分(分支)。

悖論和弗雷格的公理V相關,用現代邏輯符號表述如下: 對於所有概念F, ∀F∀G [{x|F x} = {x| G x}]↔∀x (F x ↔G x)

因此 [{x|F x} = {x| F x}]↔∀x (F x ↔F x)

{x|F x} = {x| F x} #分離原則

∃y. y = {x|F x}#存在概括(註:注意,這裡y這個item綁到集合)

因為F是任何概念,所以引入二階量詞則:

∀F.∃y. y = {x|F x}......(a) 也就是:對於所有F謂詞,有類別y=「滿足F謂詞的所有x元素的集合」。

但是我們有一個定理,是∃R.R={x|¬x∈x}(也就是 把(a)式的 F x = ¬x∈x再代入)

但這樣可好!如果R∈R,則¬R∈R(亦即R∈R→¬R∈R)但若¬(R∈R),則因為滿足R的¬x∈x,因此R∈R,所以R∈R∧¬R∈R,所以矛盾。

後來羅素提出類型論(Type Theory),但是因為類型限制,就無法對「無限性」提出證明(註:根據《同構:編程中的數學》p.226,羅素使用無窮公理,將無窮公理化,但是變成公理就無法證明)。

註:現在PL(Programming Language,程式語言)領域用的是改良後的類型論。

仍然也是有人為弗雷格的邏輯主義辯護。

本文作者最後評論,本體論的意義上,弗雷格說明顏色和數不同,數上可以有相等,顏色上沒有數學上的相等的概念,用相等可以重認一個數。

第四章:概念與對象

這裡還是用到數學的概念。

1. 函數是不完整的。比如 __ * x + 2

2. 自變元是完整、獨立的。如:x、3、10

3. 自變元不等於函數,但是這兩個建立一個完整的個體。

4. 函數補以自變元,就是自變元的函數值。

函數的擴展:

  1. 等號是等式的斷定句,有等號就可以談論句子。
  2. 引入專名可以討論「數」以外的一般事物。

假設有這個函數 λx. x^2 == 1(註:在此借用lambda函數,下同),則函數代入x=2、x=3,函數的值是假;代入-1、1是真。所以:

5.有等號的函數,其值是真值(就是現在所說的boolean值,true或false)

除數以外,真值也可以當做自變元。

現有函數「------x」,若是用真當自變元,該函數的值是true,如果是非true(比如false或是一個數),則回傳false。

  ---2+2 = 4是真,------1+3=6是假,-------5是假

∀xF(x)表達:

  1. 對於所有的x(無論什麼當做自變元x),F(x)恆真,比如∀x(x = x)
  2. 假。∀x(x^2 =1)有可能是真,有可能是假,註:但因為「對於所有」∀這個量詞,所以整體出來的值是假,因此可以否定:
    1. ¬∀x(x^2 =1)

¬∀x¬f(x) = ∃x f(x)

我們想若是∀xF(x),不把數或是專名,而把函數當成自變元的話,變成:∀x___(x)

6. 也就是:函數不僅可用個體的數做自變元,而且也可用「含有數或個體的函數」做自變元。

因此可以推衍到二階邏輯(層次不同)。

另一面,7. 函數本身也可以有很多個自變元(多變數函數)(註:但不是函數層次不同)

為什麼要擴展函數?這種擴展有沒有道理?

弗雷格是想用函數說明概念的性質,比如λx.x^2=1可以表示「__是1的平方根」,後者是一個概念,不是句子。但是這樣說明函數和概念具有相似性。

藉由引入專名,可以討論一般的句子。

對於這種擴展有無道理,弗雷格主張:「算數是進一步發展的邏輯。」「算數的符號語言必然擴展為一種邏輯的符號語言」,這裡有邏輯主義的特色。

弗雷格說:「一個概念是一個總是回傳boolean值的函數」(用現在的語言來說)

概念有「___是人」、「___會說話」這樣的特性,所以概念是不滿足的。

自然語言概念的回傳值,是不是也是回傳真或假呢?舉例:「X征服高盧」,X=凱薩時為真;X=龐培時為假,所以概念具有回傳真或假的情況。

傳統觀念認為,概念是客觀事物在人腦抽象概括的反映。因此就有「雪是白的」,要瞭解概念就需要從詞語的內涵和外延瞭解。但和boolean值沒關係。

弗雷格認為,概念起謂語作用(……是行星)。概念詞(行星)的意謂是「概念」。類名(行星、哺乳類等)的意謂是概念,謂語也是概念。概念的「謂述性」需要補充,類似函數的不完全性。

主詞有謂述性嗎?弗雷格認為謂述性的主詞(比如類詞)的句子要這樣處理「哺乳動物(類詞)都有紅血(謂語)」轉換為「∀x.哺乳動物(x)->有紅血(x)」。

專名有兩種:

  • 專有名詞:張三(不能進一步分析)
  • 專有名詞+概念詞:張三的老師->可以轉為「老師(張三)」這個輸入專有名詞的輸出函數值。

謂詞弗雷格有時用謂詞,有時用概念詞稱之。

謂語=「句子-主語的專名」比如:「柏拉圖的弟子是古希臘人」->「____是古希臘人」

弗雷格認為「哲學家」類語和「是哲學家」謂語,形式不同,但是意謂相同,他們的意謂是概念,而且是同一個。

弗雷格認為兩個是有不同:

  • 「晨星是金星」,這裡的是指相等=
  • 「晨星是行星」,這裡的是指連詞,只有語法作用,沒有具體意義。

對象和概念不同的。

概念是謂詞的意謂,對象是這種東西:可能是主詞的意謂(比如說「蘇格拉底」這詞所指的人),但絕不是謂詞的全部意謂。

概念和對象的關係:

  1. 用一個專名補充一個謂詞得到一句子,句子有意義(完整的)和意謂,值為真假值。
  2. 概念和boolean值相聯繫,形成概念和對象的一個顯著區別。「美國的首都」是一個專名,「x是美國首都」是概念,回傳真假值。
  3. 因為概念和boolean聯繫,概念真假由所代入的對象決定。
    1. 一個對象處於一個概念下(x∈概念y、x是y),指涉「概念y是x的性質」、「x在概念y下」

弗雷格認為存在是二階概念,「上帝存在」表達的是「上帝(___)」,這句是不滿足的,並沒有把上帝當一個個體,所以主張其證明不存在。

多元函數揭示關係(如離散數學),但是弗雷格沒有討論關係。

弗雷格認為,一個對象處於一個概念;概念也可以處於另一個概念下。

個人心得:我覺得「x的老師」和「x是老師」是不同的函數,一個回傳人,一個回傳boolean

第五章 意義和意謂

一個符號(句子、或是一個詞、狹義的符號)有某種意義,但不一定有意謂。

意謂指的是符號所指涉的實際物體。另外意謂這個詞bedeutung在英文的翻譯以及中文的翻譯有爭議。

意謂就像月亮,意義就像投射到望遠鏡透鏡的像,表象像是到視網膜的投影。

專名的意義:

  1. 專名表達的
  2. 和意謂不同
  3. 是句子表達的思想的一部分
  4. 專名的意義是客觀的,不依賴於主觀意識,且可被許多人共同把握。

弗雷格認為:直陳句的意謂就是句子的boolean值。

「晨星是被太陽照亮的物體」和「昏星是被太陽照亮的物體」。對於不瞭解晨星和昏星都是金星的人,可能有不同的認識(比如認為兩者不可能同時為真)。註:可能這裡意思是「意義是符號給人的描述的結果的一種暗示(比如:「一顆星,是早晨看見」和「一顆星,是黃昏看見」)」

「奧德賽在沉睡中被放到伊薩卡岸上」:句子有意義,但意謂不確定,因為我們不知道句子部分(專名奧德賽)所指的意謂(對象)是誰。

句子的意義是其思想,句子的意謂是其真值。

句子的重要性質

  1. 若句子意謂是其boolean value,如果句子一部分被意義不同,意謂相同的表達式替代時,句子的真值需保持不變。
  2. 如果一個句子的真值即為其意謂,那所有真句子具有相同意謂,所有假句子也有相同意謂。

「思想是句子的意義,同樣意謂的句子可以有不同的意義,從而給人不同的認識」

弗雷格舉例從句表達的性質(本書中沒舉例很難懂)

  • 從句的意謂是從句的思想
  • 從句只表達思想的一部分
  • 從句本身表達一個思想
  • 從句中有相對應於專名的語詞出現
  • 從句表達完整的思想時,有時候一個從句可以被另一個相同的真值句子替代。但不是所有從句都能替代。

意謂-->概念:不是內涵,也不是外延,是回傳boolean的函數,概念要看成函數

對照圖
層次 句子 專名 概念詞
表達式 句子 專名 概念詞
意義 思想 句子意義(思想)的一部分 句子意義(思想)的一部分
意謂

(個人註:要放在形式邏輯的函數觀念下看比較好懂)

布林值 對象 概念(一個回傳布林值的函數)