形式邏輯筆記/第二章
第二章命題邏輯 (sentential logic, SL)
2.1 命題字母
大寫字母（A, B, C...）代表命題
考慮下列三段式演繹推理：
A: 有蘋果
B: 有蘋果，小明就拿到板上
C: （所以）小明拿到班上
但若是把這樣的論述，寫成下方的話：
A
B
∴C
我們會以爲B和A與B和C沒有任何關聯性，但其實這不對，因為B的命題（有蘋果，小明就拿到板上）裏面，包含A（有蘋果）和B（小明拿到班上）。
因此，應該要這樣寫：
A
A→C
∴C
這裏就用到連詞(connective)了。
A, B, C, ...或是字母加下標的A1、A2, ...
都是原子句 (atomic sentence)。
2.2連詞 (connectives)
| 符號 | 華語 | 英文 |
|---|---|---|
| ¬ | 非 | not |
| & | 與 | and |
| ∨ | 或 | or |
| → | 充分條件 | if |
| ↔ | 充要條件 | if and only if |
¬否定
| A | ¬A |
|---|---|
| T | F |
| F | T |
&聯集（與、且、也）
「雖然……但是……」也使用該連詞。
這個連詞有對稱性 (symmetrical)，具有交換律，也就是A&B↔B&A
| A | B | A&B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | F |
∨交集（或）
這裏指的是inclusive OR，就是兩者都包含也算在內。如果只能二選一的，就用 exclusive OR(XOR)。
A XOR B = (A∨B) & ¬(A&B)
有對稱性，具有交換律，也就是A∨B↔B∨A
| A | B | A∨B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | T |
| F | T | T |
| F | F | F |
→條件 (conditional)
A→B
其中前件(antecedent)為A，結果(consequent)為B。
若 A 則 B，寫成A→B 唯若 A 則 B，寫成B→A
若 A為真 則 B為真，並不是因果關係，而是邏輯關係。
實質條件 (material conditional)：
| A | B | A→B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | T |
| F | F | T |
注意上表倒數兩行，A 若是 F（假）的情況，則 A→B 恆為真！
這個連詞是非對稱的(asymmetrical )。
↔雙向條件（若且唯若，if and only if）
即「(A→B)&(B→A)」。
| A | B | A↔B |
|---|---|---|
| T | T | T |
| T | F | F |
| F | T | F |
| F | F | T |
2.3其他符號化
除非 A 否則 B，可寫為¬A→B或是¬B→A。
也可推論為「A∨B」
2.4 命題邏輯的命題
- 目標語言之於元語言：
- 目標語言 (object language)：命題邏輯等。
- 元語言 (meta language)：邏輯學用的英語等。
- 表達式 (expression)：
- 句子字母 A, B, C,... , A1, A2, ...
- 運算子：¬、&、∨、→、↔
- 括號：(、)
- wff（well-formed formulae, 形式完備公式）
- atomic sentence 是 wff
- 若𝓐是wff，則¬𝓐是wff
- 若𝓐和𝓑都是wff，則𝓐&𝓑、𝓐∨𝓑、𝓐→𝓑和𝓐↔𝓑都是wff。這裏使用遞迴定義。
- 這裏的𝓐、𝓑都是元變數 (meta-variable)
- 只有上述規則才能組成wff的命題邏輯。
- 句子
- SL中，定義句子，就是定義wff。
- 標記習慣（講這本書命題邏輯的標記方式）