The Code of Mathematics筆記
ISBN 3662694824 Stefan Müller-Stach著
這是引介數學與邏輯學關係的書，但是不簡單，我猜數學系的會比較好讀。
主要講一些數學在當今社會的用途、型別論、集合論、還有我看不懂的群論，還有一些邏輯學和西方哲學的東西。
聽一位會數學的朋友說：這本很難，引介一些新的數學的新發現的書。
原文是德文，用機器翻譯成英文，可是還是很貴。
一些隨手寫的筆記（序言筆記？）
- 證明是演繹系統的運算
- 有些程式無法停機，有些證明是不能完成。
- 如何定義真？語義在數學扮演什麼角色？
- 決定性問題/非決定問題->Yes/No（哥德爾編碼）->停機問題
- Tarski、形式物件語言、公理化集合論
- Truth等於可證明性嗎？
- undecidible，不可證明是恆真的。
- 集合論、類型論、群論，哪一種適合結構意義的思考？
- HoTT
- identity type 等號=型別
- 依值型別=>是一個目標語言(object language)
- 萊布尼茲 universal scientific language 統一科學語言
Ch1（？）
p.7 柏拉圖主義
（圓只是心中的實圓畫的近似複製）
三個項目：
- Idea的世界
- 現實reality
- Mind
後來有唯名論（形上學）
抽象物和共相universal，只有於名字和標籤的性質
唯名論於數學受歡迎。
內容提到奧卡姆剃刀
Frege把數字n的外延，定義爲n個東西的事物的集合x，然衍生出羅素悖論。唯名論和柏拉圖主義，影響基督教的歷史。
另外哥德爾勾勒出在適當模態邏輯的幫助下，可以勾勒出上帝的本體論證明。
p.9
對柏拉圖的idea世界的質疑
唯名論vs柏拉圖的idea世界，哪一個方為正確的？沒有人可以證明。
柏拉圖虛構的第三地idea world的存在不明
現實主義vs反現實主義（意識虛構的現實）
抽象物和思想能在柏拉圖觀點存在於何處？
抽象問題的唯一性(uniqueness)也有問題
Benacerraf 困境：自然數的語義會產出不同的自然數形式（實現）
1+1+1+1+1 = 5 = 2 + 3
之後提到結構定義數學方法，識別相同結構物件，化解Benacerraf困境，但尚未用令人滿意的方法解決柏拉圖式的困境。
p.10
Cantor、Dedekind獨立發展集合論的基本概念（樸素集合論）
x ∈ A, A = {x1, x2}
可以用f : A -> B映射
Powerset(A) = A的子集的集合，即冪集
Dedekind用無限的集合來建立無限chain。
0, S(0), S(S(0)), ...，其中S:Mapping無限集合=>ℕ
Dedekind認為自然數有許多不同的模型=>故證明一個定理，指出所有模型都是同構。
羅素悖論與選擇公理
M_i，i ∈ I，必有tuple = (m_1, m_2, ...., m_n), s.t. m_i ∈ M_i, ∀ index i ∈ I
這是一個因應I可能無限的選擇公理。
Ch2 科學通用語言
現在仍未解決，雖有部分成功（數學、邏輯、電腦、AI）
萊布尼茲留下大量作品，至今尚未完成編輯。
萊布尼茲：「與他對『上帝直觀和全面感知的看法』相反，人類思維由於人類理性的限制，而依賴符號知識」
他的Scientia generalis也是一般化數學的夢。
笛卡爾已經夢想有一種通用的哲學語言
John Wilkins 1668年就有通用哲學語言相關的書，預示語際人工語言。
lingua universalis 萊布尼茲的哲學語言。
萊布尼茲夢想的計算，由弗雷格建構出來，但科學語言，尚未建構出來，對他強調的一致性
作者認為「他的時代不會接受顯然可以推導出真理的計算」
萊布尼茲有：
- 製作機械式運算工具
- 引入二進制
- dx和df/dx
微分定律符號仍使用之。
「真理是思想的，不是事物的」真理若是必要可以細分找到更簡單的，直到最原始的想法和邏輯（單子論）
這裡看不太懂，比較偏向西方哲學
推論的真理與事實的真理
可能世界理論。
[p.26]
康德用judgement(判斷)形容真實性有待探究的陳述
先驗judgement（獨立於經驗的必然與有效的判斷） vs 後驗 judgement（透過經驗知識的經驗判斷），二者回到亞里斯多德的二元論 -> proteron 之前的(condition)和hysteron之後的(conditioned)
數學公理(math axiom)是先驗判斷最好的例子
Kant 區分分析判斷(analytical judgement)和合成判斷（synthetic judgement）
分析判斷：一種解釋判斷，自定義推斷出來
合成判斷：延伸判斷：只能透過進一步的理由解釋
分析判斷例：晚上天暗（因為定義：除非有光源，否則是黑暗的）
康德聲稱數學為合成判斷，不能做其他的事物衍生出來（先驗分析->理性判斷；後驗的合成判斷->事實判斷）
先驗合成：數學
數學5+7=12是否為合成的->誕生出邏輯主義。
先驗：獨立於經驗
後驗：依賴於經驗
弗雷格的truth sense and meaning（語義學領域）
A=A是先驗的分析statement（在康德的定義）
A=B可能是合成的，而不是先驗的
Frege：「真實的東西，我認為是無法解釋的。」
事物的名attribute和思想屬性有關，亦即真理。
真理的在思想陳述，而不在人的理解或真實。
思想不是外部世界的敘述，也不是idea，是第三個領域。
為什麼算數基礎提到康德、萊布尼茲、而非提到Fitcher
黑格爾的德國唯心主義
Frege對唯心主義和Platoism柏拉圖主義都有懷疑態度。
萊布尼茲認識到，科學形上學必以deductive calculus 為基礎
「這句話是假的」悖論如何避免？
M元語言定義子語言L
M中定義True(x) 即T(x)
避開自我參照，減少矛盾
IsWhite(snow) <=> snow is White.
在M有T(p) exactly when p̃(p轉換為元語言的形式）
M:演繹系統（形式物件語言）ZF集合論與一階邏輯
L:Peano算數，與在集合論標準模型N的解釋
Tarsk's 真理不可定義性
undefiniability of truth
子語言的不可判定語句（不可反駁）
證明必須用更豐富的元語言證明
A=~A是第一個哥德爾不完備理論
之後的筆記
實在懶得用打字的方式了，所以把手寫的筆記放上去（檔案:TheCodeOfMathematicsNote.pdf），可能很難讀懂。