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形式語義 (formal semantics)

其中任何一個命題字母，他本身不意味語意，假設我要把「我不是貓」和「我是貓」套用到 X 這個命題字母，那就會有語意指涉的問題了。

因此我們需要知道什麼使命題為真或假，所以需要將真的概念特徵化 (characterization）。

* 元語言：比如自然語言
* 目標語言：比如形式邏輯符號用法

==5.1命題邏輯的語義==

v(X) = 1 指我們估值 X 為 1（真）或0（偽）。v 是 valuation 函數。

命題如何知道是真的？不只是符號的詮釋而已。假設詮釋是：「今天X咖啡店來了3位客人」，也不一定恆真恆假。要知道其來客量才知道真假。

所以「註解(interpretation)+世界的狀態=真偽」

命題真值賦予：a{P) = 1 若 P 為真（詮釋在這世上為真），0則為假。像是真值表上的一列那樣。

a不是命題邏輯。

真值估值函數 v 定義

* 若A是命題字母，v(A) = a(A)
* 若A是~B對於一些命題B，那麼若 v(B) = 0 則 v(A) = 1 ，否則 v(A) = 0
* 如 A 是 B & C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 1 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0
* 如 A 是 B OR C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 0 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B -> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B <-> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = v(c) 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0

===（語義）蘊涵===

A蘊涵(entail)B寫成，<math>A_1, A_2, ... \models B</math>，指<math>A_i</math>為真的情況下，B不可能為假（即也為真）。

*<math>\models C</math>：C是恆真句
*⊨ ¬C：C是矛盾句
*若兩者都不是，則爲部分為真句。
*「<math>P_1, P_2, ...,\therefore C</math>是於命題邏輯valid的」↔<math>P_1, P_2, ..., \models C</math>
*命題邏輯中A, B邏輯等同↔(A⊨B & B⊨A)
*邏輯一致性的定義：
:「<math>{A_1, A_2, ...}</math>的集合是命題邏輯裏一致的」↔有至少一個真值賦值，讓所有命題為真。
:（若是都沒有，那麼邏輯上是不一致的）

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