形式邏輯筆記/第三章

導航：首頁 > 程式語言、邏輯學>形式邏輯筆記> 形式邏輯筆記/第三章

第三章 真值表

命題邏輯中，估計值和論元的方法。

3.1真值函數連接詞 (trth-functional connective)

複合句的真值，僅依賴於組成的原子命題。

比如：D↔E的真值，是從D和E的真值算出後，再算出。

這樣做的 connective 叫 truth-functional

於命題邏輯裏，所有的邏輯操作子都是 truth-functional。

但並不是所有的形式語言都是 truth-functional。

比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。

3.2全真值表 (complete truth table)

A	¬A
1	0
0	1

A	B	A&B	A∨B	A→B	A↔B
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

真值表的進一步應用

i	ii	iii	iv	v	vi	vii
A	B	(A ∨ B) → B
1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	0

推論法

1. 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
2. i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
3. iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
4. iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後vi 就是我們要的答案了。

缺點

• 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出 $2^{k}$ 個，很不經濟。

3.3使用真值表

1. tautology（全真句），敘述的一行真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A ∨ B) → B」）。
2. contradiction（矛盾句），敘述的一行真值表各列都是「0」
3. contigent（部份為真句），敘述的一行真值表各列「混合0和1」。

   如下表的 A→¬A（iv）

i	ii	iii	iv	v
A	¬A	A → ¬A
1	0	1	0	0
0	1	0	1	1

邏輯等價(logic equivalence)

兩行的0、1排列順序相同，如底下的 i（A）與 iii（¬¬A）。

i	ii	iii
A	¬A	¬¬A
1	0	1
0	1	0

一致性(cosistency)

x>3和x≯3不一致。

若真值表一列，各行都爲1，那就具有一致性。

驗證性(validity)

考慮這推論

• A
• B
• ∴C

因爲前兩行前提，就算為真，不能推論C一定為真。

但是這就可以了：

1. ¬A→(B∨A)
2. ¬A
3. ∴B

用真值表推論如下：

i	ii	iii	iv	v	vi	vii	viii	ix	x	xi
A	B	¬ A → (B ∨ A)						¬A		B
1	0	0	1	1	0	0	1	0	1	0
1	1	0	1	0	1	1	1	0	1	1
0	0	1	0	1	0	1	0	1	0	0
0	1	1	0	1	1	1	0	1	0	1

前提¬A→(B∨A) [x]與¬A [ix]為1時，結論B [xi]為1（注意上表粗體1），所以可以驗證。

3.4 部分真值表(partial truth-value)

證明 U & T → V & W 非全真句，不用列出所有元素真僞值組合，只要如下：

假設 U & T 為1，且 U & T → V & W 為0（有假的情況），那我們可以推論 V & W 為0。 而 U & T 為1，U 與 T 均爲1，同理 V & W 為0，V 與 W 均爲0。 這個組合可以存在，所以可證明。

若是寫成表，不用列出所有真僞值組合，所以叫「部分真值表」。

用真值表證明論述，需要的表格格式：

方向	證明為真	證明為僞
全真？	完整表	1行部分表
矛盾？	完整表	1行部分表
部分真？	2行部分表	範例
等價？	完整表	1行部分表
一致？	1行部分表	範例
驗證合格？	完整表	1行部分表

ForAll X 形式邏輯筆記

第一章 什麼是邏輯 - 第二章 命題邏輯 - 第三章 真值表 - 第四章 量化邏輯 - 第五章 形式語義- 第六章 證明