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形式語義 (formal semantics)

其中任何一個命題字母，他本身不意味語意，假設我要把「我不是貓」和「我是貓」套用到 X 這個命題字母，那就會有語意指涉的問題了。

因此我們需要知道什麼使命題為真或假，所以需要將真的概念特徵化 (characterization）。

* 元語言：比如自然語言
* 目標語言：比如形式邏輯符號用法

==5.1命題邏輯的語義==

v(X) = 1 指我們估值 X 為 1（真）或0（偽）。v 是 valuation 函數。

命題如何知道是真的？不只是符號的詮釋而已。假設詮釋是：「今天X咖啡店來了3位客人」，也不一定恆真恆假。要知道其來客量才知道真假。

所以「註解(interpretation)+世界的狀態=真偽」

命題真值賦予：a{P) = 1 若 P 為真（詮釋在這世上為真），0則為假。像是真值表上的一列那樣。

a不是命題邏輯。

真值估值函數 v 定義

* 若A是命題字母，v(A) = a(A)
* 若A是~B對於一些命題B，那麼若 v(B) = 0 則 v(A) = 1 ，否則 v(A) = 0
* 如 A 是 B & C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 1 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0
* 如 A 是 B OR C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 0 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B -> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
* 如 A 是 B <-> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = v(c) 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0

===（語義）蘊涵===

A蘊涵(entail)B寫成，<math>A_1, A_2, ... \models B</math>，指<math>A_i</math>為真的情況下，B不可能為假（即也為真）。

*<math>\models C</math>：C是恆真句
*⊨ ¬C：C是矛盾句
*若兩者都不是，則爲部分為真句。
*「<math>P_1, P_2, ...,\therefore C</math>是於命題邏輯valid的」↔<math>P_1, P_2, ..., \models C</math>
*命題邏輯中A, B邏輯等同↔(A⊨B & B⊨A)
*邏輯一致性的定義：
:「<math>{A_1, A_2, ...}</math>的集合是命題邏輯裏一致的」↔有至少一個真值賦值，讓所有命題為真。
:（若是都沒有，那麼邏輯上是不一致的）

==5.2量化邏輯的詮釋與模式(model)==
形式的，命題邏輯的語義嚴格的是真值賦值。

若是他們有同樣的真值賦值，兩個註釋是一樣的。

*謂詞邏輯的解釋是：
*#有論域
*#謂詞有語義意義
*#任何常量指涉的對象

如果拿命題邏輯的語義化來對謂詞邏輯進行語義的詮釋，會犧牲量化詞、謂詞和term的關係。

我們不能用真值表，因為謂詞本身無真和偽。

比如「……是女人」不能保證恆為真。

我們需要使用 extension（外延），就是對於所有 x 中，使謂詞 F x 為真的 x 的集合。比如說：「阿嬌、阿花、小莉……」是「……是女人」的外延。

有些謂詞的 extension 是無限多的。一般而言，謂詞的外延是註釋的結果加上一些事實 (facts)。

有些時候，外延可以列出來，如：

extension(TricolorOfSignal) = {Green, Red, Yellow}。

若是 UD是所有顏色，則∃x TricolorOfSignal(x) 為真，∀x TricolorOfSignal(x)為偽（顏色超過紅黃綠）。

常量的意義決定哪一個UD的成員被挑出來，被挑出來的稱爲常量的 referent。常量字母像人名，referent像指涉的東西。一個常量字母可以指涉同一個referent，就像「岳飛」和「岳鵬舉」指同一個人。

*集合：{a, b, c, ...}，內容元素不要求順序，空集合寫為∅。

*模型
**包含常數的指涉（函數）、論域 UD、以及謂詞的外延（extension，是枚舉）。類似這樣的形式（其中論域是 UD、謂詞是 H、常數是 f）：
***UD = {臺北、新北、桃園、台中、臺南、高雄}
***extension(H) = {臺北, 新北, 桃園}#註：H指在北臺灣
***f = {臺南}
**不需用知道臺灣地理知識就可以推估說 H f 是真的還是假的。
***第二個模型
***UD = {1,2,...,10}
***N x = N 是負數
**** extension(N) = {}
***L x y = x 大於 y
****這需要用「有序tuple」(ordered tuple)的概念
****extension(L) = {<10,9>, <10, 8>, ..., <2,1>}

==5.3 同一性的語義==
*x = y 是謂詞，所有的 UD 的 item 都滿足
*∀x x = x 是全真句。
* x = y 的 UD 隨模型而異。
* (referent(a) = referent(b)) →(P a = P b, Q a = Q b, ∀ x R x a = R x b)
* 假設有個模型：
** UD = {Alice, Bob}
** referent(a) = Alice
** referent(b) = Bob
** for all predicate P, extension(P) = {}
** 因為對於所有的 P，P a 是 false，P b 是 false，¬P a <-> ¬P b 為真，所以 P a <-> P b 為真。
**但 a ≠ b。

==5.4 處理模型==
*QL 的下列三式定義：
** 全真句：任何模型均爲真，⊨C
** 矛盾句：任何模型均爲假，⊨¬C
** 非全真句：不是全真句且不是矛盾句
** argument <math>P_1, P_2, ..., P_n, \therefore C</math> 有效 (valid)↔{<math>P_1, P_2, ..., P_n \models C</math>}。否則 invalid。
** A, B 邏輯等同↔A⊨B且B⊨A。
** 集合{A, B, ...} 具邏輯一致性↔至少有一個模型使得所有命題為真。否則為不一致性。

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