「形式邏輯筆記/第三章」修訂間的差異

出自Tan Kian-ting的維基
跳至導覽 跳至搜尋
（建立內容為「{{Nav|程式語言、邏輯學|形式邏輯筆記}} 第三章 真值表 命題邏輯中，估計值和論元的方法。 ==3.1真值函數連接詞 (trth-funct…」的新頁面）
 
 
（未顯示同一使用者於中間所作的 6 次修訂）
行 18： 行 18：


比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。
比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。
==3.2全真值表 (complete truth table)==
{| class="wikitable"
|-
! A !! ¬A
|-
| 1 || 0
|-
| 0 || 1
|}
{| class="wikitable"
|-
! A !! B !! A&B!! A∨B !! A→B !! A↔B
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 ||  1 || 1
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || 1 ||  1 || 0
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 ||  1 || 1
|}
===真值表的進一步應用===
{| class="wikitable"
|-
| i || ii || iii || iv || v || vi || vii
|-
! A !! B
| colspan=5 | '''(A  ∨  B) → B'''
|-
| 1 || 1 || 1 || 1 ||  1 ||''' 1''' || 1
|-
| 1 || 0 || 1 || 1 || 0 || '''1''' || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || 1 ||  1 || '''1''' || 1
|-
| 0 || 0 || 0 || 0 ||  0 || '''1''' || 0
|}
====推論法====
# 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
# i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
# iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
# iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後'''vi 就是我們要的答案了'''。
===缺點===
* 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出 <math>2^k</math> 個，很不經濟。
==3.3使用真值表==
# tautology（全真句），敘述的一行真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A  ∨  B) → B」）。
# contradiction（矛盾句），敘述的一行真值表各列都是「0」
#contigent（部份為真句），敘述的一行真值表各列「混合0和1」。
#:如下表的 A→¬A（iv）
{| class="wikitable"
| i || ii || iii || iv || v
|-
! A !! ¬A
| colspan=3 | A →  ¬A
|-
| 1 || 0 || 1 || '''0'''  || 0
|-
| 0 || 1 || 0 || '''1''' || 1
|}
===邏輯等價(logic equivalence)===
兩行的0、1排列順序相同，如底下的 i（A）與 iii（¬¬A）。
{| class="wikitable"
| i || ii || iii
|-
! A !! ¬A !! ¬¬A
|-
| 1 || 0 || 1
|-
| 0 || 1 || 0
|}
===一致性(cosistency)===
x>3和x≯3不一致。
若真值表一列，各行都爲1，那就具有一致性。
===驗證性(validity)===
考慮這推論
*A
*B
*∴C
因爲前兩行前提，就算為真，不能推論C一定為真。
但是這就可以了：
#¬A→(B∨A)
#¬A
#∴B
用真值表推論如下：
{| class="wikitable"
| i || ii || iii || iv || v || vi || vii || viii || ix || x || xi
|-
! A !! B
| colspan=6 | <center>¬  A  →  (B  ∨  A)</center>
|colspan=2|¬A
| B
|-
| 1 || 0 || 0 || 1 || 1 || 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0
|-
| 1 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 1 || 1 || 0 || 1 || 1
|-
| 0 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 1 || 0 || 0
|-
| 0 || 1 || 1 || 0 || '''1''' || 1 || 1 || 0 || '''1''' || 0 || '''1'''
|}
前提¬A→(B∨A) [x]與¬A [ix]為1時，結論B [xi]為1（注意上表粗體'''1'''），所以可以驗證。
==3.4 部分真值表(partial truth-value)==
證明 U & T → V & W 非全真句，不用列出所有元素真僞值組合，只要如下：
假設 U & T 為1，且 U & T → V & W 為0（有假的情況），那我們可以推論 V & W 為0。
而 U & T 為1，U 與 T 均爲1，同理 V & W 為0，V 與 W 均爲0。
這個組合可以存在，所以可證明。
若是寫成表，不用列出所有真僞值組合，所以叫「部分真值表」。
用真值表證明論述，需要的表格格式：
{| class="wikitable"
! 方向 !! 證明為真 !! 證明為僞
|-
| 全真？ || 完整表 || 1行部分表
|-
| 矛盾？ || 完整表 || 1行部分表
|-
| 部分真？ || 2行部分表 || 範例
|-
| 等價？ || 完整表 || 1行部分表
|-
| 一致？ || 1行部分表 || 範例
|-
| 驗證合格？ || 完整表 || 1行部分表
|}


{{ForAllX}}
{{ForAllX}}


[[category:邏輯學]]
[[category:邏輯學]]

於 2022年2月16日 (三) 20:32 的最新修訂

第三章 真值表

命題邏輯中，估計值和論元的方法。

3.1真值函數連接詞 (trth-functional connective)

複合句的真值，僅依賴於組成的原子命題。

比如：D↔E的真值，是從D和E的真值算出後，再算出。

這樣做的 connective 叫 truth-functional

於命題邏輯裏，所有的邏輯操作子都是 truth-functional。

但並不是所有的形式語言都是 truth-functional。

比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。

3.2全真值表 (complete truth table)

A ¬A
1 0
0 1
A B A&B A∨B A→B A↔B
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1

真值表的進一步應用

i ii iii iv v vi vii
A B (A ∨ B) → B
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0

推論法

  1. 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
  2. i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
  3. iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
  4. iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後vi 就是我們要的答案了。

缺點

  • 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出 個，很不經濟。

3.3使用真值表

  1. tautology（全真句），敘述的一行真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A ∨ B) → B」）。
  2. contradiction（矛盾句），敘述的一行真值表各列都是「0」
  3. contigent（部份為真句），敘述的一行真值表各列「混合0和1」。
    如下表的 A→¬A（iv）
i ii iii iv v
A ¬A A → ¬A
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1

邏輯等價(logic equivalence)

兩行的0、1排列順序相同，如底下的 i（A）與 iii（¬¬A）。


i ii iii
A ¬A ¬¬A
1 0 1
0 1 0

一致性(cosistency)

x>3和x≯3不一致。

若真值表一列，各行都爲1，那就具有一致性。

驗證性(validity)

考慮這推論

  • A
  • B
  • ∴C

因爲前兩行前提，就算為真，不能推論C一定為真。

但是這就可以了：

  1. ¬A→(B∨A)
  2. ¬A
  3. ∴B

用真值表推論如下：

i ii iii iv v vi vii viii ix x xi
A B
¬ A → (B ∨ A)
 ¬A B
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1

前提¬A→(B∨A) [x]與¬A [ix]為1時，結論B [xi]為1（注意上表粗體1），所以可以驗證。

3.4 部分真值表(partial truth-value)

證明 U & T → V & W 非全真句，不用列出所有元素真僞值組合，只要如下：

假設 U & T 為1，且 U & T → V & W 為0（有假的情況），那我們可以推論 V & W 為0。 而 U & T 為1，U 與 T 均爲1，同理 V & W 為0，V 與 W 均爲0。 這個組合可以存在，所以可證明。

若是寫成表，不用列出所有真僞值組合，所以叫「部分真值表」。

用真值表證明論述，需要的表格格式：

方向 證明為真 證明為僞
全真？ 完整表 1行部分表
矛盾？ 完整表 1行部分表
部分真？ 2行部分表 範例
等價？ 完整表 1行部分表
一致？ 1行部分表 範例
驗證合格？ 完整表 1行部分表


ForAll X 形式邏輯筆記

第一章 什麼是邏輯 - 第二章 命題邏輯 - 第三章 真值表 - 第四章 量化邏輯 - 第五章 形式語義- 第六章 證明

取自「https://kianting.info/wiki/index.php?title=形式邏輯筆記/第三章&oldid=1312」