「形式邏輯筆記/第四章」修訂間的差異

於 2022年7月3日 (日) 22:55 的最新修訂

Ch4 量化邏輯 (qualified logic)

有時稱爲謂詞邏輯 (predicate logic)。

基本單元：

terms
謂詞

4.1 從命題到謂詞

A：所有人都疑惑
B：所有人都不疑惑

B ≠ ¬A，因為至少一個人不疑惑就能推翻之。且B和A的真僞非獨立事件

qualifier structure 量化結構，在命題邏輯沒有。

無、任一、所有：都是 qualifier 量化詞

考慮下列推演：

X 是 a ...A
凡a都是b ...B
∴X是b ...C

這是 invalid 的，因為A和B的關係位翻譯

若有量化詞的命題在命題邏輯是全真句⇒邏輯正確若是部分真句⇒可能量化結構被移除

4.2量化邏輯的構造

謂詞：大寫

D x ⇒x代表term，小寫，D代表「……是狗」，所以意思是，x是狗。

量詞：∃x D x ⇒有x，x是狗。

singular terms 特定對象：比如 $a,b,...,w,a_{1},a_{2},...$ $a,b,...,w,a_{1},a_{2},...$
- proper name: 專有名詞，指人事物的名稱，「臺北」、「全智賢」、「張三」
- definite description: 專一性的描述，指代個體，「臺中最高的山」、「世界最大的雨林」。不能指多個個體（比如說「臺灣大學的各研究所所長」就不行）
- 是 constants。
x, y, z 是變數

謂詞和自然語言

最簡單的謂詞是個體的性質

A是貓：one-place (monadic) 一元謂詞。一元謂詞+singular term -> 命題
x做y：two-place（dyadic）二元謂詞。
還有 polyadic（多元謂詞）、n-adic（n-place n元謂詞）

謂詞使用大寫字母 A~Z 標記，可加下標數字，後加 variables。

A x：x 生氣 H x：x 快樂 T x y：x不矮於y B x y z：y在x和z之間 d: Donald g: Gregor（常數在變數後方）

4.3 量化詞 quantifier

全稱量詞 (universal quantifier)

∀x H x，是指每個 x 都 H x，語義同 ∀y H y。

存在量詞 (existential quantifier)

∃x A x，指至少有一個x，A x。

∃ = ¬∀¬ （至少有一，可以寫為「非皆不」）

因為

∃x ¬ A x = ¬∀x A x（至少有一個不 A x，可以推得非所有 x A x）
¬∃x A x = ∀x ¬A x（「不存在『至少有一個 x 滿足 A x』」，可以推得「所有 x 都不 A x」）

Universe of Discourse（論域） ∀ x的x，「必定有限定範圍」，不可能毫無限制，所以有論域。不可以空白。

UD：臺灣的房屋
∀x：所有臺灣的房屋
∃x：有臺灣的房屋
x, y, z：101大樓、臺灣大學的哲學系所在館舍、某南投縣的農會大樓

UD = {北京} P x：在中國

-> ∀x P x，即「北京在中國」

non-referring terms

constant項只能指某個東西->singular term（單項）

Chimera （傳說生物）問題
- UD：真實地球生物
- P：x 是有脊椎
- a：Chimera（注意，a 不在論域）
- P a（真假不明，因為和¬P a都是假的，所以矛盾）

4.4翻譯成量化邏輯

翻譯：組合謂詞、常量、量詞、變數、連接詞 (connectives)

任何 x 皆 A (x) 者，B (x)：∀x (A x →B x)
一些 x 若 A (x) 者，B (x)：∃x (A x & B x)
不是全部的 x 若是 A (x) 者，B (x)：¬∀x (A x →B x)
沒有任何的 A (x) 是 B (x)：¬∃x (A x & B x)

推論：

A w
∀x(A x →B x)
∴B x

接下來比較瑣碎，主要是如何小心選擇論域、代名詞翻譯法、量詞的作用域需要注意、含糊謂詞。

注意：

(∃x G x) → G l = ∀x( G x → G l)
(∀x G x) → G l = ∃x( G x → G l)

但

∃x G x & G l = ∃x (G x & G l)
∀x G x & G l = ∀x (G x & G l)

4.5 QL的句子

符號分成：謂詞、常數、變數、連接詞、括號、量化詞，以及由符號組成的表達式。

wff (well-formated formula)不是命題。

L z z ，是 wff，但無法判定真假，所以不是命題。

bound variable：取決於變數的作用域。

命題是 wff，且不含自由變數。

4.6同一性 (identity)

= 和≠ ∀x (¬(x = p) → O x p)，對於所有的 x 不等於 p 時，O x p。 a≠b 即¬(a = b)

量化數量，係用多個存在量詞、（不）等號和變數來表達「至少一個，至少兩個，只有一個」

定敘述(definite description)

量化邏輯的常數必須是指UD的部分成員
- Chimera問題
句子有定敘述和有專有名詞的邏輯結構不同。
當今的法國國王是禿頭
- ∃x(F x & ∃y (F y & x ≠ y) & B x)
美國最高的一座山峯（等高之山若有，怎辦？）

ForAll X 形式邏輯筆記

第一章什麼是邏輯 - 第二章命題邏輯 - 第三章真值表 - 第四章量化邏輯 - 第五章形式語義- 第六章證明

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-Ch4 量化邏輯
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-有時稱爲謂詞邏輯 (predicate logic)，
+Ch4 量化邏輯 (qualified logic)
+有時稱爲謂詞邏輯 (predicate logic)。
+基本單元：
+* terms
+* 謂詞
+==4.1 從命題到謂詞==
+*A：所有人都疑惑
+*B：所有人都不疑惑
+B ≠ ¬A，因為至少一個人不疑惑就能推翻之。
+且B和A的真僞非獨立事件
+* qualifier structure 量化結構，在命題邏輯沒有。
+無、任一、所有：都是 qualifier 量化詞
+考慮下列推演：
+* X 是 a ...A
+* 凡a都是b ...B
+*∴X是b ...C
+這是 invalid 的，因為A和B的關係位翻譯
+若有量化詞的命題在命題邏輯是全真句⇒邏輯正確
+若是部分真句⇒可能量化結構被移除
+==4.2量化邏輯的構造==
+* 謂詞：大寫
+: D x ⇒x代表term，小寫，D代表「……是狗」，所以意思是，x是狗。
+量詞：∃x D x ⇒有x，x是狗。
+*singular terms 特定對象：比如 <math>a, b, ..., w, a_1, a_2, ...</math>
+**proper name: 專有名詞，指人事物的名稱，「臺北」、「全智賢」、「張三」
+**definite description: 專一性的描述，指代個體，「臺中最高的山」、「世界最大的雨林」。不能指多個個體（比如說「臺灣大學的各研究所所長」就不行）
+**是 constants。
+*x, y, z 是變數
+謂詞和自然語言
+最簡單的謂詞是個體的性質
+*A是貓：one-place (monadic) 一元謂詞。一元謂詞+singular term -> 命題
+*x做y：two-place（dyadic）二元謂詞。
+*還有 polyadic（多元謂詞）、n-adic（n-place n元謂詞）
+謂詞使用大寫字母 A~Z 標記，可加下標數字，後加 variables。
+A x：x 生氣
+H x：x 快樂
+T x y：x不矮於y
+B x y z：y在x和z之間
+d: Donald
+g: Gregor（常數在變數後方）
+==4.3 量化詞 quantifier==
+全稱量詞 (universal quantifier)
+∀x H x，是指每個 x 都 H x，語義同 ∀y H y。
+存在量詞 (existential quantifier)
+∃x A x，指至少有一個x，A x。
+∃ = ¬∀¬ （至少有一，可以寫為「非皆不」）
+因為
+* ∃x ¬ A x = ¬∀x A x（至少有一個不 A x，可以推得非所有 x A x）
+* ¬∃x A x = ∀x ¬A x（「不存在『至少有一個 x 滿足 A x』」，可以推得「所有 x 都不 A x」）
+Universe of Discourse（論域）
+∀ x的x，「必定有限定範圍」，不可能毫無限制，所以有論域。不可以空白。
+*UD：臺灣的房屋
+*∀x：所有臺灣的房屋
+*∃x：有臺灣的房屋
+*x, y, z：101大樓、臺灣大學的哲學系所在館舍、某南投縣的農會大樓
+UD = {北京}
+P x：在中國
+-> ∀x P x，即「北京在中國」
+non-referring terms
+constant項只能指某個東西->singular term（單項）
+*Chimera （傳說生物）問題
+**UD：真實地球生物
+**P：x 是有脊椎
+**a：Chimera（注意，a 不在論域）
+**P a（真假不明，因為和¬P a都是假的，所以矛盾）
+==4.4翻譯成量化邏輯==
+翻譯：組合謂詞、常量、量詞、變數、連接詞 (connectives)
+* 任何 x 皆 A (x) 者，B (x)：∀x (A x →B x)
+* 一些 x 若 A (x) 者，B (x)：∃x (A x & B x)
+* 不是全部的 x 若是 A (x) 者，B (x)：¬∀x (A x →B x)
+* 沒有任何的 A (x) 是 B (x)：¬∃x (A x & B x)
+推論：
+*A w
+*∀x(A x →B x)
+*∴B x
+接下來比較瑣碎，主要是如何小心選擇論域、代名詞翻譯法、量詞的作用域需要注意、含糊謂詞。
+注意：
+*(∃x G x) → G l = ∀x( G x → G l)
+*(∀x G x) → G l = ∃x( G x → G l)
+但
+*∃x G x & G l = ∃x (G x & G l)
+*∀x G x & G l = ∀x (G x & G l)
+==4.5 QL的句子==
+符號分成：謂詞、常數、變數、連接詞、括號、量化詞，以及由符號組成的表達式。
+wff (well-formated formula)不是命題。
+L z z ，是 wff，但無法判定真假，所以不是命題。
+bound variable：取決於變數的作用域。
+命題是 wff，且不含自由變數。
+==4.6同一性 (identity)==
+= 和≠
+∀x (¬(x = p) → O x p)，對於所有的 x 不等於 p 時，O x p。
+a≠b 即¬(a = b)
+*量化數量，係用多個存在量詞、（不）等號和變數來表達「至少一個，至少兩個，只有一個」
+===定敘述(definite description)===
+* 量化邏輯的常數必須是指UD的部分成員
+**Chimera問題
+*句子有定敘述和有專有名詞的邏輯結構不同。
+*當今的法國國王是禿頭
+**∃x(F x & ∃y (F y & x ≠ y) & B x)
+*美國最高的一座山峯（等高之山若有，怎辦？）
+{{ForAllX}}
+[[category:邏輯學]]