形式邏輯筆記/第三章

導航：首頁 > 程式語言、邏輯學>形式邏輯筆記> 形式邏輯筆記/第三章

第三章 真值表

命題邏輯中，估計值和論元的方法。

3.1真值函數連接詞 (trth-functional connective)

複合句的真值，僅依賴於組成的原子命題。

比如：D↔E的真值，是從D和E的真值算出後，再算出。

這樣做的 connective 叫 truth-functional

於命題邏輯裏，所有的邏輯操作子都是 truth-functional。

但並不是所有的形式語言都是 truth-functional。

比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。

3.2全真值表 (complete truth table)

A	¬A
1	0
0	1

A	B	A&B	A∨B	A→B	A↔B
1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	0
0	0	0	0	1	1

真值表的進一步應用

i	ii	iii	iv	v	vi	vii
A	B	(A ∨ B) → B
1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	1	0	1	0
0	1	0	1	1	1	1
0	0	0	0	0	1	0

推論法

1. 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
2. i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
3. iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
4. iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後vi 就是我們要的答案了。

缺點

• 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出 $2^{k}$ 個，很不經濟。

3.3使用真值表

1. tautology（全真句），敘述的真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A ∨ B) → B」）。
2. contradiction（矛盾句），敘述的真值表各列都是「0」
3. contigent（部份為真句），敘述的真值表各列「混合0和1」。

   如下表的 A→¬A（iv）

i	ii	iii	iv	v
A	¬A	A → ¬A
1	0	1	0	0
0	1	0	1	1

邏輯等價(logic equivalence)

兩列的0、1排列順序相同，如底下的 i（A）與 iii（¬¬A）。

i	ii	iii
A	¬A	¬¬A
1	0	1
0	1	0

一致性(cosistency)

x>3和x≯3不一致。

若真值表一列，各行都爲1，那就具有一致性。

驗證性(validity)

考慮這推論

• A
• B
• ∴C

因爲前兩行前提，就算為真，不能推論C一定為真。

但是這就可以了：

• ¬A→(B∨C)
• ¬A
• ∴C

A	B	colspan=4 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字 !! 標題文字
範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例
範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例
範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例
範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例
範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例	範例

ForAll X 形式邏輯筆記

第一章 什麼是邏輯 - 第二章 命題邏輯 - 第三章 真值表 - 第四章 量化邏輯 - 第五章 形式語義- 第六章 證明