形式邏輯筆記/第二章

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第二章命題邏輯 (sentential logic, SL)

2.1 命題字母

大寫字母(A, B, C...)代表命題

考慮下列三段式演繹推理:

A: 有蘋果

B: 有蘋果,小明就拿到板上

C: (所以)小明拿到班上

但若是把這樣的論述,寫成下方的話:

A

B

∴C

我們會以爲B和A與B和C沒有任何關聯性,但其實這不對,因為B的命題(有蘋果,小明就拿到板上)裏面,包含A(有蘋果)和B(小明拿到班上)。

因此,應該要這樣寫:

A

A→C

∴C

這裏就用到連詞(connective)了。

A, B, C, ...或是字母加下標的A1、A2, ...

都是原子句 (atomic sentence)。


2.2連詞 (connectives)

連詞一覽
符號 華語 英文
¬ not
& and
or
充分條件 if
充要條件 if and only if

¬否定

¬的真值表
A ¬A
T F
F T

&聯集(與、且、也)

「雖然……但是……」也使用該連詞。

這個連詞有對稱性 (symmetrical),具有交換律,也就是A&B↔B&A

&的真值表
A B A&B
T T T
T F F
F T F
F F F

∨交集(或)

這裏指的是inclusive OR,就是兩者都包含也算在內。如果只能二選一的,就用 exclusive OR(XOR)。

A XOR B = (A∨B) & ¬(A&B)

有對稱性,具有交換律,也就是A∨B↔B∨A

∨的真值表
A B A∨B
T T T
T F T
F T T
F F F

→條件 (conditional)

A→B

其中前件(antecedent)為A,結果(consequent)為B。

若 A 則 B,寫成A→B 唯若 A 則 B,寫成B→A

若 A為真 則 B為真,並不是因果關係,而是邏輯關係。

實質條件 (material conditional):

→的真值表
A B A→B
T T T
T F F
F T T
F F T

注意上表倒數兩行,A 若是 F(假)的情況,則 A→B 恆為真!

這個連詞是非對稱的(asymmetrical )。

↔雙向條件(若且唯若,if and only if)

即「(A→B)&(B→A)」。

↔的真值表
A B A↔B
T T T
T F F
F T F
F F T

2.3其他符號化

除非 A 否則 B,可寫為¬A→B或是¬B→A。

也可推論為「A∨B」

2.4 命題邏輯的命題

  1. 目標語言之於元語言:
    1. 目標語言 (object language):命題邏輯等。
    2. 元語言 (meta language):邏輯學用的英語等。
  2. 表達式 (expression):
    1. 句子字母 A, B, C,... , A1, A2, ...
    2. 運算子:¬、&、∨、→、↔
    3. 括號:(、)
  3. wff(well-formed formulae, 形式完備公式)
    1. atomic sentence 是 wff
    2. 若𝓐是wff,則¬𝓐是wff
    3. 若𝓐和𝓑都是wff,則𝓐&𝓑、𝓐∨𝓑、𝓐→𝓑和𝓐↔𝓑都是wff。這裏使用遞迴定義。
    這裏的𝓐、𝓑都是元變數 (meta-variable)
    只有上述規則才能組成wff的命題邏輯。
    1. 句子
      SL中,定義句子,就是定義wff。
    2. 標記習慣(講這本書命題邏輯的標記方式)
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