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形式邏輯筆記/第四章

於 2022年6月12日 (日) 16:54 由 Tankianting（討論 | 貢獻） 所做的修訂 （→‎4.4翻譯成量化邏輯）

Ch4 量化邏輯 (qualified logic)

有時稱爲謂詞邏輯 (predicate logic)。

基本單元：

  • terms
  • 謂詞

4.1 從命題到謂詞

  • A：所有人都疑惑
  • B：所有人都不疑惑

B ≠ ¬A，因為至少一個人不疑惑就能推翻之。 且B和A的真僞非獨立事件

  • qualifier structure 量化結構，在命題邏輯沒有。

無、任一、所有：都是 qualifier 量化詞

考慮下列推演：

  • X 是 a ...A
  • 凡a都是b ...B
  • ∴X是b ...C

這是 invalid 的，因為A和B的關係位翻譯

若有量化詞的命題在命題邏輯是全真句⇒邏輯正確 若是部分真句⇒可能量化結構被移除

4.2量化邏輯的構造

  • 謂詞：大寫
D x ⇒x代表term，小寫，D代表「……是狗」，所以意思是，x是狗。

量詞：∃x D x ⇒有x，x是狗。

  • singular terms 特定對象：比如  
    • proper name: 專有名詞，指人事物的名稱，「臺北」、「全智賢」、「張三」
    • definite description: 專一性的描述，指代個體，「臺中最高的山」、「世界最大的雨林」。不能指多個個體（比如說「臺灣大學的各研究所所長」就不行）
    • 是 constants。
  • x, y, z 是變數

謂詞和自然語言

最簡單的謂詞是個體的性質

  • A是貓：one-place (monadic) 一元謂詞。一元謂詞+singular term -> 命題
  • x做y：two-place（dyadic）二元謂詞。
  • 還有 polyadic（多元謂詞）、n-adic（n-place n元謂詞）

謂詞使用大寫字母 A~Z 標記，可加下標數字，後加 variables。

A x：x 生氣 H x：x 快樂 T x y：x不矮於y B x y z：y在x和z之間 d: Donald g: Gregor（常數在變數後方）

4.3 量化詞 quantifier

全稱量詞 (universal quantifier)

∀x H x，是指每個 x 都 H x，語義同 ∀y H y。

存在量詞 (existential quantifier)

∃x A x，指至少有一個x，A x。

∃ = ¬∀¬ （至少有一，可以寫為「非皆不」）

因為

  • ∃x ¬ A x = ¬∀x A x（至少有一個不 A x，可以推得非所有 x A x）
  • ¬∃x A x = ∀x ¬A x（「不存在『至少有一個 x 滿足 A x』」，可以推得「所有 x 都不 A x」）

Universe of Discourse（論域） ∀ x的x，「必定有限定範圍」，不可能毫無限制，所以有論域。不可以空白。

  • UD：臺灣的房屋
  • ∀x：所有臺灣的房屋
  • ∃x：有臺灣的房屋
  • x, y, z：101大樓、臺灣大學的哲學系所在館舍、某南投縣的農會大樓

UD = {北京} P x：在中國

-> ∀x P x，即「北京在中國」

non-referring terms

constant項只能指某個東西->singular term（單項）

  • Chimera （傳說生物）問題
    • UD：真實地球生物
    • P：x 是有脊椎
    • a：Chimera（注意，a 不在論域）
    • P a（真假不明，因為和¬P a都是假的，所以矛盾）

4.4翻譯成量化邏輯

翻譯：組合謂詞、常量、量詞、變數、連接詞 (connectives)

  • 任何 x 皆 A (x) 者，B (x)：∀x (A x →B x)
  • 一些 x 若 A (x) 者，B (x)：∃x (A x & B x)
  • 不是全部的 x 若是 A (x) 者，B (x)：¬∀x (A x →B x)
  • 沒有任何的 A (x) 是 B (x)：¬∃x (A x & B x)

推論：

  • A w
  • ∀x(A x →B x)
  • ∴B x

接下來比較瑣碎，主要是如何小心選擇論域、代名詞翻譯法、量詞的作用域需要注意、含糊謂詞。

注意：

  • (∃x G x) → G l = ∀x( G x → G l)
  • (∀x G x) → G l = ∃x( G x → G l)

但

  • ∃x G x & G l = ∃x (G x & G l)
  • ∀x G x & G l = ∀x (G x & G l)

4.5 QL的句子

符號分成：謂詞、常數、變數、連接詞、括號、量化詞，以及由符號組成的表達式。

wff (well-formated formula)不是命題。

L z z ，是 wff，但無法判定真假，所以不是命題。

bound variable：取決於變數的作用域。

命題是 wff，且不含自由變數。

4.6同一性 (identity)

= 和≠ ∀x (¬(x = p) → O x p)，對於所有的 x 不等於 p 時，O x p。 a≠b 即¬(a = b)

  • 量化數量，係用多個存在量詞、（不）等號和變數來表達「至少一個，至少兩個，只有一個」

定敘述(definite description)

  • 量化邏輯的常數必須是指UD的部分成員
    • Chimera問題
  • 句子有定敘述和有專有名詞的邏輯結構不同。
  • 當今的法國國王是禿頭
    • ∃x(F x & ∃y (F y & x ≠ y) & B x)
  • 美國最高的一座山峯（等高之山若有，怎辦？）
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