形式邏輯筆記/第五章

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形式語義 (formal semantics)

其中任何一個命題字母，他本身不意味語意，假設我要把「我不是貓」和「我是貓」套用到 X 這個命題字母，那就會有語意指涉的問題了。

因此我們需要知道什麼使命題為真或假，所以需要將真的概念特徵化 (characterization）。

• 元語言：比如自然語言
• 目標語言：比如形式邏輯符號用法

5.1命題邏輯的語義

v(X) = 1 指我們估值 X 為 1（真）或0（偽）。v 是 valuation 函數。

命題如何知道是真的？不只是符號的詮釋而已。假設詮釋是：「今天X咖啡店來了3位客人」，也不一定恆真恆假。要知道其來客量才知道真假。

所以「註解(interpretation)+世界的狀態=真偽」

命題真值賦予：a{P) = 1 若 P 為真（詮釋在這世上為真），0則為假。像是真值表上的一列那樣。

a不是命題邏輯。

真值估值函數 v 定義

• 若A是命題字母，v(A) = a(A)
• 若A是~B對於一些命題B，那麼若 v(B) = 0 則 v(A) = 1 ，否則 v(A) = 0
• 如 A 是 B & C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 1 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0
• 如 A 是 B OR C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 0 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
• 如 A 是 B -> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = 1 且 v(c) = 0 則 v(A) = 0，否則v(A) = 1
• 如 A 是 B <-> C，對於一些命題字母 B, C，則若 v(B) = v(c) 則 v(A) = 1，否則v(A) = 0

（語義）蘊涵

A蘊涵(entail)B寫成，$A_{1},A_{2},...\models B$，指$A_{i}$為真的情況下，B不可能為假（即也為真）。

• $\models C$：C是恆真句
• ⊨ ¬C：C是矛盾句
• 若兩者都不是，則爲部分為真句。
• 「$P_{1},P_{2},...,\therefore C$是於命題邏輯valid的」↔$P_{1},P_{2},...,\models C$
• 命題邏輯中A, B邏輯等同↔(A⊨B & B⊨A)
• 邏輯一致性的定義：

「${A_{1},A_{2},...}$的集合是命題邏輯裏一致的」↔有至少一個真值賦值，讓所有命題為真。

（若是都沒有，那麼邏輯上是不一致的）