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形式邏輯筆記/第三章

第三章 真值表

命題邏輯中，估計值和論元的方法。

3.1真值函數連接詞 (trth-functional connective)

複合句的真值，僅依賴於組成的原子命題。

比如：D↔E的真值，是從D和E的真值算出後，再算出。

這樣做的 connective 叫 truth-functional

於命題邏輯裏，所有的邏輯操作子都是 truth-functional。

但並不是所有的形式語言都是 truth-functional。

比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。

3.2全真值表 (complete truth table)

A ¬A
1 0
0 1
A B A&B A∨B A→B A↔B
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 0 0 1 1

真值表的進一步應用

i ii iii iv v vi vii
A B (A ∨ B) → B
1 1 1 1 1 1 1
1 0 1 1 0 1 0
0 1 0 1 1 1 1
0 0 0 0 0 1 0

推論法

  1. 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
  2. i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
  3. iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
  4. iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後vi 就是我們要的答案了。

缺點

  • 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出   個，很不經濟。

3.3使用真值表

  1. tautology（全真句），敘述的一行真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A ∨ B) → B」）。
  2. contradiction（矛盾句），敘述的一行真值表各列都是「0」
  3. contigent（部份為真句），敘述的一行真值表各列「混合0和1」。
    如下表的 A→¬A（iv）
i ii iii iv v
A ¬A A → ¬A
1 0 1 0 0
0 1 0 1 1

邏輯等價(logic equivalence)

兩行的0、1排列順序相同，如底下的 i（A）與 iii（¬¬A）。


i ii iii
A ¬A ¬¬A
1 0 1
0 1 0

一致性(cosistency)

x>3和x≯3不一致。

若真值表一列，各行都爲1，那就具有一致性。

驗證性(validity)

考慮這推論

  • A
  • B
  • ∴C

因爲前兩行前提，就算為真，不能推論C一定為真。

但是這就可以了：

  1. ¬A→(B∨A)
  2. ¬A
  3. ∴B

用真值表推論如下：

i ii iii iv v vi vii viii ix x xi
A B
¬ A → (B ∨ A)
 ¬A B
1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0
1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1
0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0
0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1

前提¬A→(B∨A) [x]與¬A [ix]為1時，結論B [xi]為1（注意上表粗體1），所以可以驗證。

3.4 部分真值表(partial truth-value)

證明 U & T → V & W 非全真句，不用列出所有元素真僞值組合，只要如下：

假設 U & T 為1，且 U & T → V & W 為0（有假的情況），那我們可以推論 V & W 為0。 而 U & T 為1，U 與 T 均爲1，同理 V & W 為0，V 與 W 均爲0。 這個組合可以存在，所以可證明。

若是寫成表，不用列出所有真僞值組合，所以叫「部分真值表」。

用真值表證明論述，需要的表格格式：

方向 證明為真 證明為僞
全真？ 完整表 1行部分表
矛盾？ 完整表 1行部分表
部分真？ 2行部分表 範例
等價？ 完整表 1行部分表
一致？ 1行部分表 範例
驗證合格？ 完整表 1行部分表


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