形式邏輯筆記/第三章
第三章 真值表
命題邏輯中，估計值和論元的方法。
3.1真值函數連接詞 (trth-functional connective)
複合句的真值，僅依賴於組成的原子命題。
比如：D↔E的真值，是從D和E的真值算出後，再算出。
這樣做的 connective 叫 truth-functional
於命題邏輯裏，所有的邏輯操作子都是 truth-functional。
但並不是所有的形式語言都是 truth-functional。
比如模態邏輯(modal logic)，其中的♢p，代表可能是p，但無法推論真假。
3.2全真值表 (complete truth table)
| A | ¬A |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
| A | B | A&B | A∨B | A→B | A↔B |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
真值表的進一步應用
| i | ii | iii | iv | v | vi | vii |
| A | B | (A ∨ B) → B | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
推論法
- 先列出基本命題 A 和 B 的各種組合 i 和 ii。
- i 可推 iii，ii 可推 v 和 vii（照抄）。
- iii 和 v 可推論 iv（交集∨）。
- iv 和 vii 可推論 vi（充分條件→），然後vi 就是我們要的答案了。
缺點
- 要列出所有命題原子的各種真僞組合，如果有 k 的，就要列出 個，很不經濟。
3.3使用真值表
- tautology（全真句），敘述的真值表各列都是「1」（如上表的 vi，即「(A ∨ B) → B」）。
- contradiction（矛盾句），敘述的真值表各列都是「0」
- contigent（部份為真句），敘述的真值表各列「混合0和1」。
- 如下表的 A→¬A（iv）
| i | ii | iii | iv | v |
| A | ¬A | A → ¬A | ||
|---|---|---|---|---|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |