「東大圖書《弗雷格》筆記」修訂間的差異

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東大圖書《弗雷格》筆記 (檢視原始碼)

於 2024年5月23日 (四) 22:49 的修訂

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→‎第三章：算數基礎
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概念是數的載體。
概念是數的載體。


函數以個體為自變數，量詞（∀、∃）以函數為自變數。


對於0, 1和後繼（S(n)）的定義：
假設F是一元謂詞，N x Fx代表「屬於X這個概念（概念有『凱薩大帝、地球、獨角獸、臺灣人』的數）」，則 （以下的公式稍作等價公式的替換，以利理解）：
* N x F x=0 表示∀x.¬x
* N x F x=1 表示∃x.(F x ∧ ∀x ∀y(Fx∧Fy →x = y))
* N x F x=n+1 表示∃x.(F x ∧ N y (Fy ∧ y ≠ x) = n) #註：這裡奇怪的是為什麼沒有給y的量詞
弗雷格反對這種定義：
* 數字並沒有作為單稱詞使用，也無法把0、1確定為可重認且獨立的對象(即無法說明0是獨一無二且和其他數不同)
* 因此無法重認一個數，從而無法確認一個數和另一個數是否相同。
數的相等必須藉由（其內元素間）「一一對應」來定義。
用如果a和b平行，則「和a平行的線」的外延和「和b平行的線」的外延相等，弗雷格用外延來說明數的定義：
「屬於概念F的數，是『與概念F等數』的概念的外延」。（也就是所有數量為2的概念（布爾邏輯值、圍棋子的顏色等）的外延，是2，就是屬於布爾邏輯值概念的數。）
根據相等=的解釋：
同一個數屬於概念F且屬於概念G ↔「與概念F等數的」這個概念的外延 = 「與概念G等數的」這個概念的外延
一一對應是什麼呢？
∃ɸ是二元關係，若「 ∀x∈F, ∃y ∈G, ɸ x y 」且「∃x∈F, ∀y ∈G, ɸ x y」則F和G相互對應（一一對應）
概念F和概念G是等數的 ≝ ∃R 使概念F下的對象（元素）和使概念G下的對象一一對應。
算數基礎規律中使用外延區別數，但是這種引入外延產生了悖論。


[[category:邏輯學]]
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[[category:數學]]
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取自「https://kianting.info/wiki/w/特殊:手機版差異/2704」

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