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「東大圖書《弗雷格》筆記」修訂間的差異
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| 行 156： | 行 156： | ||
# ∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0，且若 F x 則 F (S (x))，則對所有自然數n則F n。 | # ∀F((F 0 ∧∀x S x → (F x → F(S x))) →∀x(N x → F x)) // 對於所有性質F若是F 0，且若 F x 則 F (S (x))，則對所有自然數n則F n。 | ||
為什麼邏輯主義失敗，人們認為有三大原因： | |||
* 羅素悖論 | |||
* 哥德爾不完備定理（有些定理不能在皮亞諾公設下被證明） | |||
* 弗雷格認為邏輯包含集合論，但是現代集合論的發展，應該是把集合論當成數學的一部分（分支）。 | |||
悖論和弗雷格的公理V相關，用現代邏輯符號表述如下： | |||
對於所有概念F， | |||
∀F∀G [{x|F x} = {x| G x}]↔∀x (F x ↔G x) | |||
因此 | |||
[{x|F x} = {x| F x}]↔∀x (F x ↔F x) | |||
{x|F x} = {x| F x} #分離原則 | |||
∃y. y = {x|F x}#存在概括（註：注意，這裡y這個item綁到集合） | |||
因為F是任何概念，所以引入二階量詞則： | |||
∀F.∃y. y = {x|F x}......(a) | |||
也就是：對於所有F謂詞，有類別y=「滿足F謂詞的所有x元素的集合」。 | |||
但是我們有一個定理，是∃R.R={x|¬x∈x}（也就是 把(a)式的 F x = ¬x∈x再代入） | |||
但這樣可好！如果R∈R，則¬R∈R（R∈R→¬R∈R）但若¬(R∈R)，則因為滿足R的¬x∈x，因此R∈R，所以R∈R∧¬R∈R，所以矛盾。 | |||
後來羅素提出類型論(Type Theory)，但是因為類型限制，就無法對「無限性」提出證明（註：根據《同構：編程中的數學》p.226，羅素使用無窮公理，將無窮公理化，但是變成公理就無法證明）。 | |||
註：現在PL（Programming Language，程式語言）領域用的是改良後的類型論。 | |||
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